Konvergenz von Reihen ermitteln Summe von (10k-2)/(4+k^4)

Question

hallo zusammen,

habe folgendes Problem:

Untersuchen sie folgende Reihen auf Konvergenz:

a) $$ \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \frac { 10k-2 }{ { 4+k }^{ 4 } }  }  $$

b) $$ \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ { (-1) }^{ k* }\frac { k }{ 5k+3 }  }  $$

Bei der ersten wollte ich es durch abschätzen der Folge machen:

$$ \frac { 10k-2 }{ { 4+k }^{ 4 } }  $$  ≤ $$ \frac { 10k-2 }{ { k }^{ 4 } }  $$ ≤ $$ \frac { 10k }{ { k }^{ 4 } } $$ ≤ $$ 10*\frac { 1 }{ { k }^{ 3 } } $$

Nach Quotientenkriterium gilt dann: a_k+1/a_k

-> $$ \frac { 10 }{ { (k+1) }^{ 3 } } *\frac { { k }^{ 3 } }{ 10 }  $$

-> $$ { \left( \frac { k }{ k+1 }  \right)  }^{ 3 } $$

-> $$ { \left( \frac { 1 }{ 1+\frac { 1 }{ k }  }  \right)  }^{ 3 } $$ -> geht gegen 1 für lim-> unendlich

heißt das dann, dass die Reihe divergiert? (irgendwie unlogisch da ja 1/k³ bestimmt konvergiert?)

zu b) ist es hier sinnvoll, abzuschätzen? -> dann würde bei mir eine konvergenz der Reihe herauskommen und zwar gegen den Reihenwert 0.

Gruß und Danke für alle hilfreichen Antworten

Answer 1

Richtig, die Reihe 1/k^3 konvergiert und damit auch 10*1/k^3. Also hast du für

deine Reihe eine konvergente Majorante, sie konvergiert also auch.

Beim Quotientenkriterium gibt es keine Aussage, weil der Grenzwert 1.

Wäre er größer 1, dann wäre es divergent und

wäre er kleiner 1 dann konvergent, bei =1 weiss man nix.

Bei b) gehen die Beträge der Summanden nicht gegen o,

also divergent.

Comments

danke, aber woher weiß ich (ich nehme es nur an) dass 1/k² konvergiert? wie könnte ich das beweisen?

Gruß

Answer 2

Den Teil nach

"Nach Quotientenkriterium gilt dann:" 

brauchst du nicht mehr.

Du hast 10 * Summe (1/k^3) als konvergente Majorante gefunden.

Du solltest einfach noch sagen (begründen), dass alle Summanden positiv sind.

(-1)^k * k/(5k + 3) = (-1)^k * 1 / (5 + 3/k) 

Fall k gerade und k gegen unendlich

(-1)^k * 1 / (5 + 3/k)   → 1/5

Fall k ungerade und k gegen unendlich

(-1)^k * 1 / (5 + 3/k)   → - 1/5

Die Summandenfolge ist keine Nullfolge ==> Die Reihe konvergiert nicht. 

Comments

aber bei b) habe ich ja jetzt 2 Folgen, die eine konvergiert gegen 1/5, die andere gegen -1/5 hebt sich das nicht auf?

ich weiß nicht so recht, wie man, nachdem man die beiden Folgen analysiert hat (1/5,-1/5), dass formal schreiben soll

könnte ich nicht sagen: $$ \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ { (-1) }^{ k* }\frac { k }{ 5k+3 }  } $$

-> $$ \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ 5 }  } +\frac { -1 }{ 5 } =0 $$ ?

 Gruß

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Wenn die Summandenfolge keine Nullfolge ist, konvergiert die Reihe (=unendliche Summe) nicht!

Die Summe nr. n und nr n+1 unterscheiden sich in deinem Fall jeweils um etwa 1/5, was grösser ist als ein Epsilon von zB 1/10 .