Summe von (3k^4 + 4k^2)/(2^k) auf Konvergenz oder absolute Konvergenz prüfen

Question

Summe auf Konvergenz oder absolute Konvergenz prüfen:

\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{3 k^{4}+4 k^{2}}{2^{k}} \)

Ansatz/Problem:

Anhand der Aufgabe sehe ich schon, dass es irgendwann gegen 0 geht. Wie Zeige ich jetzt Konvergenz bzw. Absolute Konvergenz ?

Comments

" sehe ich schon, dass es irgendwann gegen 0 geht. "

Du meinst:

"sehe ich schon, dass die Summanden gegen 0 konvergieren". 

"Es" = "Die Summe" geht nicht gegen 0, da nur positive Summanden vorkommen. 

Tipp: Bastle für die Summe eine konvergente Majorante.  

Answer 1

verwende z.B das Quotientenkriterium.

Der gebrochen rationale Anteil strebt dann gegen 1, der mit der 2^k Potenz gegen 1/2.

Comments

(3·(k + 1)^4 + 4·(k + 1)^2) / 2^{k + 1} / ((3·k^4 + 4·k^2) / 2^k)

= 1/2 + (12·k^3 + 18·k^2 + 20·k + 7) / (6·k^4 + 8·k^2)

Der Grenzwert 1/2 ist kleiner als 1, daher konvergent.

Allerdings ist das ein ziemlich blödes rumgerechne.

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Ich verstehe deine Umformungen nicht.

es ist a_(k+1)/(a_k)=

$$ \frac{1}{2}\frac{(3·(k + 1)^4 + 4·(k + 1)^2)}{(3·k ^4 + 4·k^2)}  $$

und nun sieht man sofort, dass der Term gegen 1/2 strebt, denn die höchste Potenz im Zähler ist gleich der höchsten Potenz im Nenner mit selbem Vorfaktor (3).