Konvergenz und Grenzwert bestimmen von Teleskopsumme ∑1/(k(k+1))

Question

a) Zeigen Sie, dass die Reihe

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)} \)

konvergiert und geben Sie den Grenzwert an.

Hinweis: Verwenden Sie z.B. die Identität:

\( \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \)

b) Folgern Sie daraus, dass auch die Reihe

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}} \)

konvergiert und dass der Grenzwert kleiner oder gleich 2 ist.

Comments

Bei a) handelt es sich um eine Teleskopsumme. Benutze die Suche. Du solltest diese Aufgabe dann schon gelöst finden können.

Folge zB den Links in https://www.mathelounge.de/61019/zeigen-folgenden-summenformeln-kubikzahlen-teleskopsumme

Answer 1

a) vgl. mein Kommentar oben.

b)

∑ 1/k^2   Summation ab k=1

= ∑ 1/(k+1)^2  mit Summation ab k=0.

Da 1/(k(k+1)) > 1/(k+1)^2 ist die Teleskopsumme in a) eine konvergente Majorante von Summe in b). Daher konvergiert auch b) und ihr Grenzwert muss kleiner sein als der Grenzwert von a).