Grenzwert der Reihe bestimmen: ∑1 /(4n^2 - 1)

Question

Ich weiß, jemand hatte schonmal eine ähnliche Frage. Doch werde ich da aus den Antworten nicht schlau.

Man kann aus der Reihe, eine Teleskopreihe machen. Aber weiter komme ich nicht.

Hat jemand nochmal eine Lösung wo die einzelnen Umformungen beschrieben sind? Danke !

LG

Answer 1

Den Ausdruck \(\frac{1}{4n^2 - 1}\) kann man wie folgt umformen: $$\frac{1}{4n^2 - 1} = \frac{1}{(2n - 1)(2n+1)}=\frac{A}{2n-1}+\frac{B}{2n+1}$$ Eine Multiplikation mit dem Hauptnenner \(4n^2 - 1\) ergibt        $$1 = 2An + A + 2Bn - B$$ da diese Gleichung für alle \(n\) gelten muss, muss die Summe aller Terme mit  \(n\) heraus fallen, also ist              $$0=2An + 2Bn$$ und              $$1=A-B$$ daraus folgt, dass       $$A=\frac{1}{2}; \quad B=\frac{-1}{2}$$ Eingesetzt in die Summe ergibt              $$\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{4n^2 - 1} = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{N} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)\\ = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{1} -\frac{1}{3} +  \frac{1}{3} -\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7}  +... + \frac{1}{2N-1} - \frac{1}{2N+1}\right)= \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2N+1}\right)$$ $$=\frac{N}{2N+1}$$