Reihenaufgabe:
Es geht um:
1.) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4 n^{2}-1} \)
2.) \( \sum \limits_{n=3}^{\infty} \frac{2^{n-2}}{4^{n+1}} \)
Ich denke ich muss beide Reihen entweder in geometrische oder harmonische Form bringen, oder?
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Vom Duplikat: Teleskopsumme und Indexverschiebung
Aufgabe:
Man soll den Grenzwert von \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{4 k^{2}-1} \) berechnen. Er ist laut diverser Hilfsmittel -1.
Doch ich komme nicht auf die -1. So bin ich vorgegangen:
1. Binomische Formel und Partialbruchzerlegung angewandt
2.Summen auseinandergeschrieben
3.Indexverschiebung
Doch bei Punkt 3, funktioniert das ganze leider nicht mehr. Das steht bis jetzt da:
\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{4 k-2}-\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{4 k+2} \)
Wenn man jetzt rechts, den Index um 1 erhöht, steht der linke Ausdruck da.
\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{4 k-2}-\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{4(k-1)+2} \)
Da links jetzt alles bis auf k=0 wegfällt, dürfte das ja mein Grenzwert sein.
ABER: 1/4*0-2 = -0.5 Und das ist ja nicht richtig. Kann mir jemand sagen, was falsch ist?
