Grenzwertbestimmung Reihe (Summenfolge) Summe von k^2/(n^4 - 10k^2)

Question

Zeigen Sie, dass die Folge (a_n )  n ∈ ℕ definiert durch

a_n :=

$$ \sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { \\ { k }^{ 2 } }{ { n }^{ 4 }-10{ k }^{ 2 } }  }  $$

, ∀ n ∈ ℕ

konvergiert, und bestimmen Sie Ihren Grenzwert.

boah was ist das hier? wieso zeigt er die Funktion niciht richtig an?

Zeigen Sie, dass die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) definiert durch
\( a_{n}:=\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{k^{2}}{n^{4}-10 k^{2}}, \quad \forall n \in \mathbb{N} \)
konvergiert, und bestimmen Sie Ihren Grenzwert.

Comments

Könnte es sein, dass du es hier mit einer Teleskopsumme zu tun hast.

Schau mal hier rein: https://www.mathelounge.de/55675/berechnung-mit-identitat-logarithmus-und-produkt-von-k-bis

Grenzwertbestimmung Reihe (Summenfolge) Summe von k²/(n⁴ - 10k²)

= k^2/ ((n^2 - √10k)(n^2 + √10k)) 

usw. wie im Link. (vielleicht)

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Einleitung
Die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) ist definiert durch:
\( a_{n}:= \sum_{k=1}^{n} \frac{k^{2}}{n^{4} - 10k^{2}}, \quad \forall n \in \mathbb{N} \)

Es gilt zu zeigen, dass diese Folge konvergiert, und dabei soll der Grenzwert bestimmt werden.

Vorgehensweise

Um die Konvergenz der Folge zu untersuchen und den Grenzwert zu bestimmen, teilen wir die Aufgabe in zwei Schritte:
1. Untersuchung des Verhaltens des Summanden \( \frac{k^2}{n^4 - 10k^2} \) für große \( n \).
2. Summation dieser Ausdrücke und Bestimmung des Grenzwertes.

Schritt 1: Asymptotische Analyse des Summanden

Betrachte den Summanden für \( k \) fest und \( n \) groß:
\( \frac{k^2}{n^4 - 10k^2} \)

Für große \( n \) dominiert \( n^4 \) im Nenner, weshalb wir den Nenner approximieren können:
\( n^4 - 10k^2 \approx n^4 \)

Daher wird der Summand:
\( \frac{k^2}{n^4 - 10k^2} \approx \frac{k^2}{n^4} \)

Schritt 2: Summation der approximierten Ausdrücke und Grenzwertbestimmung

Summieren wir nun die approximierten Ausdrücke für \( k \) von 1 bis \( n \):
\( a_{n} \approx \sum_{k=1}^{n} \frac{k^2}{n^4} \)

Die Summe \( \sum_{k=1}^{n} k^2 \) kann durch die bekannte Formel für die Summe der Quadratzahlen ausgedrückt werden:
\( \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)

Setzen wir das in unsere Summe ein:
\( a_{n} \approx \frac{1}{n^4} \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{n^4} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)

Nun vereinfachen wir:
\( a_{n} \approx \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^4} \)

Betrachten wir den Ausdruck im Detail:
\( a_{n} \approx \frac{n \cdot (n+1) \cdot (2n+1)}{6n^4} = \frac{n \cdot n \cdot 2n + n \cdot (1+2n) \cdots + n \cdot (n+1)}{6n^4} \)
Das vereinfacht sich für große \( n \):
\( \approx \frac{2n^3}{6n^4} = \frac{2}{6n} = \frac{1}{3n} \)

Für den Grenzwert, wenn \( n \to \infty \):
\( \lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3n} = 0 \)

Schlussfolgerung

Die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) definiert durch:
\( a_{n}:= \sum_{k=1}^{n} \frac{k^{2}}{n^{4} - 10k^{2}}, \)

konvergiert gegen \( 0 \).

Der Grenzwert der Folge ist somit:
\( \boxed{0}. \)