Antwort mit KI erzeugt
Einleitung
Die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) ist definiert durch:
\( a_{n}:= \sum_{k=1}^{n} \frac{k^{2}}{n^{4} - 10k^{2}}, \quad \forall n \in \mathbb{N} \)
Es gilt zu zeigen, dass diese Folge konvergiert, und dabei soll der Grenzwert bestimmt werden.
Vorgehensweise
Um die Konvergenz der Folge zu untersuchen und den Grenzwert zu bestimmen, teilen wir die Aufgabe in zwei Schritte:
1. Untersuchung des Verhaltens des Summanden \( \frac{k^2}{n^4 - 10k^2} \) für große \( n \).
2. Summation dieser Ausdrücke und Bestimmung des Grenzwertes.
Schritt 1: Asymptotische Analyse des Summanden
Betrachte den Summanden für \( k \) fest und \( n \) groß:
\( \frac{k^2}{n^4 - 10k^2} \)
Für große \( n \) dominiert \( n^4 \) im Nenner, weshalb wir den Nenner approximieren können:
\( n^4 - 10k^2 \approx n^4 \)
Daher wird der Summand:
\( \frac{k^2}{n^4 - 10k^2} \approx \frac{k^2}{n^4} \)
Schritt 2: Summation der approximierten Ausdrücke und Grenzwertbestimmung
Summieren wir nun die approximierten Ausdrücke für \( k \) von 1 bis \( n \):
\( a_{n} \approx \sum_{k=1}^{n} \frac{k^2}{n^4} \)
Die Summe \( \sum_{k=1}^{n} k^2 \) kann durch die bekannte Formel für die Summe der Quadratzahlen ausgedrückt werden:
\( \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)
Setzen wir das in unsere Summe ein:
\( a_{n} \approx \frac{1}{n^4} \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{n^4} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)
Nun vereinfachen wir:
\( a_{n} \approx \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^4} \)
Betrachten wir den Ausdruck im Detail:
\( a_{n} \approx \frac{n \cdot (n+1) \cdot (2n+1)}{6n^4} = \frac{n \cdot n \cdot 2n + n \cdot (1+2n) \cdots + n \cdot (n+1)}{6n^4} \)
Das vereinfacht sich für große \( n \):
\( \approx \frac{2n^3}{6n^4} = \frac{2}{6n} = \frac{1}{3n} \)
Für den Grenzwert, wenn \( n \to \infty \):
\( \lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3n} = 0 \)
Schlussfolgerung
Die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) definiert durch:
\( a_{n}:= \sum_{k=1}^{n} \frac{k^{2}}{n^{4} - 10k^{2}}, \)
konvergiert gegen \( 0 \).
Der Grenzwert der Folge ist somit:
\( \boxed{0}. \)