Zeigen, dass (i) f ist bijektiv; (ii) f ist surjektiv; und (iii) f ist injektiv äquivalent sind:

Question

Sei K ein Körper, V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und f : V→V eine lineare Abbildung. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(i) f ist bijektiv;

(ii) f ist surjektiv;

(iii) f ist injektiv.

Hinweis: Benutzen Sie den Dimensionssatz für lineare Abbildungen

Answer 1

Hallo hp,

f : V→V eine lineare Abbildung.

Dimenssionssatz:   dim V = dim Bild(f) + dim Kern(f)

f injektiv  →  Kern(f) = {0} → dim Bild(f) = dim V → Bild(f) = V  → f ist surjektiv → f ist bijektiv

f surjektiv →  dim Bild(f) = dim V → dim Kern(f) = 0 → Kern(f) = {0}

                                                     →_#  f ist injektiv → f ist bijektiv

f bijektiv  ↔  f ist injektiv und  f ist surjektiv

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#  Kern(f) = {0} → f ist injektiv .denn

    für u , v ∈ V mit  f(u) = f(v) gilt   f(u - v) =_{f linear}  f(u) - f(v) = 0   

       also  u-v ∈ Kern(f) = {0}  →  u = v → f injektiv

Gruß Wolfgang