Aloha :)
Die Matrix \(_C[f]_B\) erwartet rechts einen \(v\)-Vektor bezüglich der Basis \(B\) und liefert einen \(w\)-Vektor bezüglich der Basis \(C\):$$\left(\begin{array}{c}w_1\\w_2\\w_3\end{array}\right)_C=\left(\begin{array}{cccc}{1} & {3} & {0} & {1} \\ {0} & {2} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}v_1\\v_2\\v_3\\v_4\end{array}\right)_B$$Du sollst nun prüfen, ob es einen \(v\)-Vektor gibt, der das folgende Gleichungssystem erfüllt:
$$\left(\begin{array}{c}3\\5\\0\end{array}\right)_C=\left(\begin{array}{cccc}{1} & {3} & {0} & {1} \\ {0} & {2} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}v_1\\v_2\\v_3\\v_4\end{array}\right)_B=\left(\begin{array}{cccc}{v_1} & {3v_2} & {0} & {v_4} \\ {0} & {2v_2} & {v_3} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0}\end{array}\right)$$
$$\Leftrightarrow \begin{cases} 3=v_1+3v_2+v_4\\5=2v_2+v_3 \end{cases} $$
Eine Lösung dieses Gleichungssystems finden wir, indem wir \(v_2=1\) wählen. Dann ist \(v_3=3\) und \(v_1+v_4=0\). Der \(v\)-Vektor \((0,1,3,0)_B\) hat also das Bild \((3,5,0)_C\).