Bestimmen Sie alle z "Element" C mit (z−(3/2)i)^3+27i=0

Question

ich hoffe jemand kann mir helfen. Aufgabe ist, alle z für folgende Gleichung zu bestimmen:

(z−(3/2)i)^3+27i=0

Ich bin unsicher, was ich mit dem i in der Klammer tun muss.

Dann eben alle Imaginärteile auf die Rechte Seite. Damit erhalte ich aber ganz blöde Zahlen und das verunsichert mich.

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Die Lösung:

(z-(3/2)i)^3=-27i

(z-(3/2)i)=-3*exp((pi/2)i)*exp(k*(2pi/3)i) für k=0,1,2

die -(3/2)i noch auf die rechte Seite bringen, dann für jedes k durchgehen.

Raus kommt am Ende:

(3*sqrt(3))/2

-(3*sqrt(3))/2

(9/2)i

Bei Fragen, fragen :)

Answer 1

Soll das

(z−(3/2)i)^3+27i=0

bedeuten?

(z−(3/2)i)^3 = -27i 

Da 27 = 3^3 und -i = i^3

(z−(3/2)i)^3 = (3i)^3 

1. Lösung:

Basenvergleich

z - (3/2)i = 3i

z = 4.5i 

Nun untersuchen, ob es noch weitere Lösungen gibt.

Comments

danke für deine Antwort. Ich hab leider beim Kopieren der Gleichung Mist gemacht. Korrekt müsste es sein:

(z-(3/2)i)^3+27i=0

Sorry, danke für deine Mühe. Hab es zwischenzeitlich gelöst, denke ich. Poste die Antwort gleich.

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Habe oben in blau mit den neuen Zahlen mein erstes Element der Lösungsmenge bestimmt. Da haben wir schon mal eine Übereinstimmung. Ich rechne zudem auch mit 3 Elementen in der Lösungsmenge. D.h. deine Antwort sieht auf den ersten Blick schon mal gut aus.

Maschinelle Kontrolle: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28z%E2%88%92%283%2F2%29i%29%5E3%2B27i%3D0

Text erkannt:

Real solutions:
\( z=-\frac{3 \sqrt{3}}{2} \)
\( z=\frac{3 \sqrt{3}}{2} \)
Complex solution:
\( z=\frac{9 i}{2} \)

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Cool, vielen Dank :)

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Bitte. Gern geschehen. Die zweite Gleichung in deiner Frage

z3+(278)i+27i=0

 blende ich besser aus, die ist bestimmt auch verkehrt. Oder?

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Ja, ist Mumpitz.