Wie überprüfe ich, ob dies im Bild von f liegt?

Question

Aufgabe:

Seien \( V \) und \( W \) Vektorräume über \( \mathbb{R} \) mit Basen \( B=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right) \) bzw. \( C=\left(w_{1}, w_{2}, w_{3}\right) \) Sei \( f: V \rightarrow W \) linear, gegeben durch \( c[f]_{B}=\left(\begin{array}{cccc}{1} & {3} & {0} & {1} \\ {0} & {2} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0}\end{array}\right) \)

Wie überprüfe ich, ob 3w₁+5w₂ im im(f) liegt?

Answer 1

Aloha :)

Die Matrix \(_C[f]_B\) erwartet rechts einen \(v\)-Vektor bezüglich der Basis \(B\) und liefert einen \(w\)-Vektor bezüglich der Basis \(C\):$$\left(\begin{array}{c}w_1\\w_2\\w_3\end{array}\right)_C=\left(\begin{array}{cccc}{1} & {3} & {0} & {1} \\ {0} & {2} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}v_1\\v_2\\v_3\\v_4\end{array}\right)_B$$Du sollst nun prüfen, ob es einen \(v\)-Vektor gibt, der das folgende Gleichungssystem erfüllt:

$$\left(\begin{array}{c}3\\5\\0\end{array}\right)_C=\left(\begin{array}{cccc}{1} & {3} & {0} & {1} \\ {0} & {2} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}v_1\\v_2\\v_3\\v_4\end{array}\right)_B=\left(\begin{array}{cccc}{v_1} & {3v_2} & {0} & {v_4} \\ {0} & {2v_2} & {v_3} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0}\end{array}\right)$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} 3=v_1+3v_2+v_4\\5=2v_2+v_3 \end{cases} $$

Eine Lösung dieses Gleichungssystems finden wir, indem wir \(v_2=1\) wählen. Dann ist \(v_3=3\) und \(v_1+v_4=0\). Der \(v\)-Vektor \((0,1,3,0)_B\) hat also das Bild \((3,5,0)_C\).