Wie überprüfe ich ob 2 Funktionen Umkehrabbildungen zueinander sind?

Question

Aufgabe:

… Wie überprüfe ich ob 2 Funktionen Umkehrabbildungen zueinander sind?

zB. f : (0, ∞) → f(x)= 4/x + 1/8

g : (0, ∞) → g(x) =  1/4*x +1/8 

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Setze g(x) bei f ein oder setze f(x) bei g ein (das ist hier einfacher), dann muss die identische Funktion id mit id(x) = x herauskommen :

g( f(x) )  =  1/4* ( 4/x + 1/8) + 1/8  =   1/x + 1/32 + 1/8  ≠  x , also sind f und g keine Umkehrungen voneinander.

Hier könnte man sich auch jede Rechnung sparen : da der Graph der Umkehrung durch Spiegelung des Graphen der Funktion an der ersten Winkelhalbierenden entsteht, und bei dieser Spiegelung aus einer Geraden wieder eine Gerade wird, kann die Umkehrung der linearen Funktion g wieder nur eine lineare Funktion sein, was f aber nicht ist.

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vielen dank für die antwort!

Answer 1

Bilde die Umkehrabbildung von f(x)

y = 4/x + 1/8 --> x = 4/(y - 1/8)

Da nicht g(x) heraus kommt, sind es keine Umkehrfunktionen.

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Ok danke für die Antwort

Answer 2

f^(-1):
y= 4/x+1/8

y-1/8 = 4/x

(8y-1)/8 = 4/x

x= 4*8/(8y-1) = 32/(8y-1)

f^(-1)(x) = 32/(8y-1)  ist NICHT g(x)

g^-(1):

y= 1/4*x+1/8

y-1/8 = 1/4*x

x= 4y-1/2

g^(-1)(x) = 4x-1/2 ist NICHT f(x)

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danke für die antwort!

Answer 3

f : (0, ∞) → f(x)= 4/x + 1/8

f : y = 4/x + 1/8
Umkehrfunktion bilden
x = 4/y + 1/8
4/y = x - 1/8
4 = ( x - 1/8 ) * y
y = 4 / ( x - 1/8 )

g : (0, ∞) → g(x) =  1/4*x +1/8