Question

Für jede natürliche Zahl x, die eine Primzahl ist, gilt x = 2 oder x ist
ungerade.

Formalisieren Sie die obige Aussage mit Hilfe der Prädikatenlogik. Das Universum
seien genau die natürlichen Zahlen und Sie können die üblichen mathematischen
Symbole (≤, <, =, etc.) sowie die Prädikate teilt(x, y) und prim(x) verwenden.

Mein Ansatz: ∀prim(x)∈N→≥(2)∨ungerade(x)

Answer 1

\(\forall x\ \operatorname{prim}(x)\to x=2\vee \neg \operatorname{teilt}(2, x)\)

Comments

Danke. Und wenn ich die formalisierte Aussage negieren soll und so umformen soll, dass die Negationen nur noch vor Atomen stehen, stimmt das dann?

$$\neg(\forall x\ \operatorname{prim}(x)\to\neg (x=2\vee\operatorname\neg{teilt}(2,x)) $$

$$\exists x \neg prim(x)\to\neg (x=2)\wedge(teilt(2,x))  $$

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Ob deine Vermutung richtig ist, kannst du mit einer Wahrheitstabelle überprüfen:

\(\operatorname{prim}(x)\)	\(x=2\)	\(\operatorname{teilt}(2,x)\)	\(\neg \operatorname{prim}(x)\to\neg (x=2)\wedge\operatorname{teilt}(2,x)\)	\(\operatorname{prim}(x)\to x=2\vee\neg\operatorname{teilt}(2,x))\)
0	0	0		1
0	0	1		1
0	1	0		1
0	1	1		1
1	0	0		1
1	0	1		0
1	1	0		1
1	1	1		1

Wenn deine Vermutung richtig ist, dann steht in der vierten Spalte die Negation der fünften Spalte.

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Das stimmt leider nicht

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Ich habe wahrscheinlich mich falsch ausgedrückt. Ich meinte die Negation zu der Formalisierung :

\(\forall x\ \operatorname{prim}(x)\to x=2\vee \neg \operatorname{teilt}(2, x)\)

(die Formalisierung darüber also :

$$¬(∀x prim(x)→¬(x=2∨¬teilt(2,x))$$

war ein Zwischenschritt von mir)

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Negation von \(A\to B\) ist \(A\wedge \neg B\).

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Ich hab´s. Dann ist die Negation von

$$∀x prim(x)→x=2∨¬teilt(2,x)$$

=

\(\exists x  prim(x)\wedge \neg (x=2)\wedge(teilt(2,x))  \)

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Das ist so richtig.

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Ist das dann auch richtig, wenn die Negation nur noch vor den Atomen stehen soll?

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Es gibt nur eine Negation. Die steht vor \(x=2\). Das ist ein Atom.