Zeigen Sie, dass für jede natürliche Zahl n gilt: Die Summe s(n)=n+(n+1)+(n+2)+...+(n+10) ist keine Primzahl.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für jede natürliche Zahl n gilt:

Die Summe s(n) = n+(n+1)+(n+2)+. . .+(n+10) ist keine Primzahl.

Finden Sie alle n ∈ N, so dass s(n) genau drei Teiler hat.

Answer 1

Fasse den Term n+(n+1)+(n+2)+. . .+(n+10) zusammen!

Wie viele n und welchen zusätzlichen Summanden erhältst du?

Comments

Ok, vielen Dank.

Komme auf 11n + 55, damit hat die Zahl 11 als Teiler, aber wie komme ich nun auf jedes n mit 3 Teilern?

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Betrachte mal den Ausdruck \(s(n)=11\cdot n+55=11\cdot (n+5)\) genauer. Wie du schon richtig erkannt hast, hat \(s(n)\) für alle \(n\in\mathbb{N}_{\geq 0}\) die Zahl \(11\) als Teiler. Nun suchst du ja gerade die \(n\), sodass \(s(n)\) genau drei Teiler hat. Einer ist schon vergeben, nämlich die 11. Also musst du dir nur noch den Faktor \(n+5\) anschauen. Wann hat \(n+5\) nur genau zwei Teiler und gleichzeit damit \(s(n)\) genau drei Teiler?

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was meinst du mit "damit" ?

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Ich meine das hier: Bei passend gewähltem \(n\) hat \(n+5\) genau zwei Teiler. Damit hat man insgesamt mit der \(11\) genau drei Teiler.

Edit: Ausnahme: \(11\) und \(1\) sollen nicht als Teiler bei \(n+5 \) vorkommen, da sonst weniger als drei Teiler vorliegen. Vielfache von \(11\), sodass \(5+n=11\cdot a\) für ein \(a\in \mathbb{N}\) und \(a>1\) wäre aber zb wieder erlaubt.

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Ok, das verstehe ich.
Mir ist aber kein Verfahren bekannt, wie ich mit einer gegebenen Anzahl an Teilern diese bestimmen kann.
Meine einzige Vermutung wäre es, dass n gerade sein muss, wobei das eigentlich auch nicht funktioniert.

Die nächste Überlegung wäre es, dass n ein Vielfaches von 5 sein muss.

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Beide Ideen scheitern zb bei \(n=10\). Diese ist zwar gerade und ein Vielfaches der \(5\). Aber \(11\cdot (10+5)=11\cdot 1\cdot 3\cdot 5\) hat mehr als drei Teiler.

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Ok, das verstehe ich nicht ganz. Die 1 könnte ich ja überall als zusätzlichen Teiler aufführen.

Aber wie soll ich dann vorgehen, wenn meine Idee ist falsch ist.

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Die \(1\) ist auch ein Teiler jeder ganzen Zahl. Grundsätzlich gilt weiter, dass egal wie oft ein Teiler \(t\in \mathbb{N}\) einer Zahl \(x\in \mathbb{N}\) als Vielfaches vorkommt, so ist \(t\) weiterhin Teiler davon. Beispiel:

Es gilt \(441=1\cdot 3\cdot 3\cdot 7\cdot 7\). Damit hat \(441\)die Teiler \(\{1,3,7,9,21,49,63,147,441\}\), obwohl zb 3 hier zweimal als Faktor vorkommt.

Zurück zu:

Aber wie soll ich dann vorgehen, wenn meine Idee ist falsch ist.

Aus meiner Sicht würde es reichen, wenn du eine Menge hinschreibst, welche nur die \(n\in\mathbb{N}\) enthält, sodass \(n+5\) genau zwei Teiler hat, ja die \(1\) ist schon mit dabei. Aber welche Zahlen haben denn genau zwei Teiler? :-)

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Ich hoffe, ich konnte jetzt richtig folgen.

Primzahlen hätten genau zwei Teiler, sich selbst und die eins. Allerdings weiß ich dann immer noch nicht, wie ich das für alle n richtig aufschreiben soll.

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Nunja, du schilderst es im Prinzip schon:

Primzahlen hätten genau zwei Teiler, sich selbst und die eins.

Was für eine Zahl muss also \(n+5\) sein?

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5 ist Primzahl, also müsste n eine grade Zahl sein, sodass n + 5 wieder eine Primzahl ist.

Zumindest ist das grade meine Überlegung :D

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Fast richtig. Das \(n\) kann dir explizit erstmal egal sein, wie es aussieht. Gerades \(n\) würde ja wie im obigen Beispiel von mir mit \(n=10\) schiefgehen. Aber ja, \(n+5\) muss immer eine Primzahl sein.

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Anmerkung dazu. Es muss aber die \(11\) gesondert ausgeschlossen werden. \(11\) ist zwar eine Primzahl, aber kommt schon als Faktor in \(s(n)\) vor!

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Damit hat \(441\) nur genau drei Teiler, obwohl zb 3 hier zweimal als Faktor vorkommt.

Die Zahl 441 besitzt genau 9 natürliche Zahlen als Teiler.

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Ja, du hast recht. Hatte da leider nur die Primzahlen angeschaut...

Habe es oben angepasst.

Aber das ändert nichts im weiteren, was \(n+5\) sein soll, da u.a. 441 keine Primzahl ist.

Answer 2

Hallo,

dass \(s(n) = 11(n+5)\) ist, und somit auch keine Primzahl, sollte hinreichend geklärt sein (s. Kommentare bei abakus Antwort)

Finden Sie alle n ∈ N, so dass s(n) genau drei Teiler hat.

Klären wir zunächst mal den Begriff des 'Teilers'. Ein Teiler einer natürlichen Zahl \(k\) ist jede Zahl \(z \in \mathbb N\), die als Fakor in einem Produkt natürlicher Zahlen vorkommt, wenn das Produkt identisch zu \(k\) ist. Beispiel: \(k=13\)$$13 = 1 \cdot 13$$nach obiger Definition sind die \(1\) und die \(13\) Teiler von \(13\). Da \(13\) auch eine Primzahl ist, gibt es keine weiteren Teiler. Folglich ist die Anzahl der Teiler bei der \(13\) gleich \(2\) - man schreibt auch$$d(13) = 2$$das gilt für jede Primzahl.

Wie muss eine Zahl \(k\) aussehen, so dass \(d(k)=3\) ist? Die \(1\) und \(k\) selbst sind bereits zwei Teiler. Wenn es nun einen dritten Teiler \(z\) geben soll und keinen weiteren, so ist das nur möglich, wenn \(z^2 = k\) ist ... logisch oder? Denn wenn \(z \cdot z' = k\) wäre, mit \(z\ne z'\), dann wären es ja schon \(4\) Teiler.

Also muss \(s(n)\) eine Quadratzahl sein, deren Wurzel eine Primzahl ist. Und da bereits die \(11\) \(s(n)\) teilt - man schreibt \(11|s(n)\) - bleibt nur$$s(n) = 11^2 = 11(n + 5) \implies n = 6$$und die \(6\) ist die einzige Zahl für die gilt$$d(s(6)) = 3$$