Zeigen Sie, dass für jede natürliche Zahl n gilt: Die Summe s(n)=n+(n+1)+(n+2)+...+(n+10) ist keine Primzahl.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für jede natürliche Zahl n gilt:

Die Summe s(n) = n+(n+1)+(n+2)+. . .+(n+10) ist keine Primzahl.

Finden Sie alle n ∈ N, so dass s(n) genau drei Teiler hat.

Answer 1

Fasse den Term n+(n+1)+(n+2)+. . .+(n+10) zusammen!

Wie viele n und welchen zusätzlichen Summanden erhältst du?

Comments

Ok, vielen Dank.

Komme auf 11n + 55, damit hat die Zahl 11 als Teiler, aber wie komme ich nun auf jedes n mit 3 Teilern?

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Betrachte mal den Ausdruck $s(n)=11\cdot n+55=11\cdot (n+5)$ genauer. Wie du schon richtig erkannt hast, hat $s(n)$ für alle $n\in\mathbb{N}_{\geq 0}$ die Zahl $11$ als Teiler. Nun suchst du ja gerade die $n$, sodass $s(n)$ genau drei Teiler hat. Einer ist schon vergeben, nämlich die 11. Also musst du dir nur noch den Faktor $n+5$ anschauen. Wann hat $n+5$ nur genau zwei Teiler und gleichzeit damit $s(n)$ genau drei Teiler?

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was meinst du mit "damit" ?

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Ich meine das hier: Bei passend gewähltem $n$ hat $n+5$ genau zwei Teiler. Damit hat man insgesamt mit der $11$ genau drei Teiler.

Edit: Ausnahme: $11$ und $1$ sollen nicht als Teiler bei $n+5$ vorkommen, da sonst weniger als drei Teiler vorliegen. Vielfache von $11$, sodass $5+n=11\cdot a$ für ein $a\in \mathbb{N}$ und $a>1$ wäre aber zb wieder erlaubt.

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Ok, das verstehe ich.
Mir ist aber kein Verfahren bekannt, wie ich mit einer gegebenen Anzahl an Teilern diese bestimmen kann.
Meine einzige Vermutung wäre es, dass n gerade sein muss, wobei das eigentlich auch nicht funktioniert.

Die nächste Überlegung wäre es, dass n ein Vielfaches von 5 sein muss.

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Beide Ideen scheitern zb bei $n=10$. Diese ist zwar gerade und ein Vielfaches der $5$. Aber $11\cdot (10+5)=11\cdot 1\cdot 3\cdot 5$ hat mehr als drei Teiler.

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Ok, das verstehe ich nicht ganz. Die 1 könnte ich ja überall als zusätzlichen Teiler aufführen.

Aber wie soll ich dann vorgehen, wenn meine Idee ist falsch ist.

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Die $1$ ist auch ein Teiler jeder ganzen Zahl. Grundsätzlich gilt weiter, dass egal wie oft ein Teiler $t\in \mathbb{N}$ einer Zahl $x\in \mathbb{N}$ als Vielfaches vorkommt, so ist $t$ weiterhin Teiler davon. Beispiel:

Es gilt $441=1\cdot 3\cdot 3\cdot 7\cdot 7$. Damit hat $441$die Teiler $\{1,3,7,9,21,49,63,147,441\}$, obwohl zb 3 hier zweimal als Faktor vorkommt.

Zurück zu:

Aber wie soll ich dann vorgehen, wenn meine Idee ist falsch ist.

Aus meiner Sicht würde es reichen, wenn du eine Menge hinschreibst, welche nur die $n\in\mathbb{N}$ enthält, sodass $n+5$ genau zwei Teiler hat, ja die $1$ ist schon mit dabei. Aber welche Zahlen haben denn genau zwei Teiler? :-)

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Ich hoffe, ich konnte jetzt richtig folgen.

Primzahlen hätten genau zwei Teiler, sich selbst und die eins. Allerdings weiß ich dann immer noch nicht, wie ich das für alle n richtig aufschreiben soll.

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Nunja, du schilderst es im Prinzip schon:

Primzahlen hätten genau zwei Teiler, sich selbst und die eins.

Was für eine Zahl muss also $n+5$ sein?

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5 ist Primzahl, also müsste n eine grade Zahl sein, sodass n + 5 wieder eine Primzahl ist.

Zumindest ist das grade meine Überlegung :D

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Fast richtig. Das $n$ kann dir explizit erstmal egal sein, wie es aussieht. Gerades $n$ würde ja wie im obigen Beispiel von mir mit $n=10$ schiefgehen. Aber ja, $n+5$ muss immer eine Primzahl sein.

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Anmerkung dazu. Es muss aber die $11$ gesondert ausgeschlossen werden. $11$ ist zwar eine Primzahl, aber kommt schon als Faktor in $s(n)$ vor!

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Damit hat $441$ nur genau drei Teiler, obwohl zb 3 hier zweimal als Faktor vorkommt.

Die Zahl 441 besitzt genau 9 natürliche Zahlen als Teiler.

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Ja, du hast recht. Hatte da leider nur die Primzahlen angeschaut...

Habe es oben angepasst.

Aber das ändert nichts im weiteren, was $n+5$ sein soll, da u.a. 441 keine Primzahl ist.

Answer 2

Hallo,

dass $s(n) = 11(n+5)$ ist, und somit auch keine Primzahl, sollte hinreichend geklärt sein (s. Kommentare bei abakus Antwort)

Finden Sie alle n ∈ N, so dass s(n) genau drei Teiler hat.

Klären wir zunächst mal den Begriff des 'Teilers'. Ein Teiler einer natürlichen Zahl $k$ ist jede Zahl $z \in \mathbb N$, die als Fakor in einem Produkt natürlicher Zahlen vorkommt, wenn das Produkt identisch zu $k$ ist. Beispiel: $k=13$$$13 = 1 \cdot 13$$nach obiger Definition sind die $1$ und die $13$ Teiler von $13$. Da $13$ auch eine Primzahl ist, gibt es keine weiteren Teiler. Folglich ist die Anzahl der Teiler bei der $13$ gleich $2$ - man schreibt auch$$d(13) = 2$$das gilt für jede Primzahl.

Wie muss eine Zahl $k$ aussehen, so dass $d(k)=3$ ist? Die $1$ und $k$ selbst sind bereits zwei Teiler. Wenn es nun einen dritten Teiler $z$ geben soll und keinen weiteren, so ist das nur möglich, wenn $z^2 = k$ ist ... logisch oder? Denn wenn $z \cdot z' = k$ wäre, mit $z\ne z'$, dann wären es ja schon $4$ Teiler.

Also muss $s(n)$ eine Quadratzahl sein, deren Wurzel eine Primzahl ist. Und da bereits die $11$ $s(n)$ teilt - man schreibt $11|s(n)$ - bleibt nur$$s(n) = 11^2 = 11(n + 5) \implies n = 6$$und die $6$ ist die einzige Zahl für die gilt$$d(s(6)) = 3$$