Für jede Primzahl p und für jedes i ∈ {1, 2,..., p - 1} ist p ein Teiler des Binomialkoeffizienten.

Question

Man Beweise:

Für jede Primzahl p und für jedes i ∈ {1, 2,..., p - 1} ist p ein Teiler des Binomialkoeffizienten \( \begin{pmatrix} p\\i\\ \end{pmatrix} \) .

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Answer 1

Binomialkoeffizienten sind natürliche Zahlen, die durch vollständiges Kürzen eines Bruches entstanden sind, dessen Nenner kleinere Faktoren enthält, als der größte Faktor des Zählers. Ist p eine Primzahl, kann p (prim und größter Faktor des Zählers) nicht am Kürzen beteiligt sein, bleibt also Faktor des gekürzten Binomialkoeffizienten.