Beweisen Sie, dass eine natürliche Zahl genau dann eine Primzahl ist, wenn jede Primzahl p ≤ √n die Zahl n nicht teilt

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass eine natürliche Zahl n ∈ ℕ, n > 1, genau dann eine Primzahl ist, wenn jede Primzahl p ≤ √n die Zahl n nicht teilt.

Ich habe Zahlen eingesetzt und berechnet, und die Aussage scheint wirklich zu stimmen. Folgt diese Aussage eigentlich nicht direkt aus dem Fundamentalsatz (Primfaktorzerlegung)?

Die Wurzel schränkt ja die Wahl der Primzahl ein, aber: Müsste nicht jede Zahl, was keine Primzahl ist, durch 2 oder durch 3 teilbar sein?

Ich weiß nicht, wie ich das ganze mathematisch formulieren soll.

Answer 1

Für die Zahl n gilt $$n=\sqrt{n}\cdot \sqrt{n}$$

Sollte für n auch noch

$$n=a\cdot b$$

gelten und a wäre größer als $$\sqrt{n}$$, dann müsste b kleiner als  $$\sqrt{n}$$ sein.

Falls n also keine Primzahl ist, hätte n einen Teiler, der kleiner als  $$\sqrt{n}$$ ist.