Beweise: n ist genau dann eine Primzahl wenn (c teilt ab => c teilt a oder c teilt b)

Question

Aufgabe:

$$\text{ Zeigen Sie, dass eine natürliche Zahl n} \in \mathbb{N} \text{ genau dann eine Primzahl ist wenn } \\ n|ab \Longrightarrow \text{ n|a } \lor \text{ n|b } \\ \forall a,b \in  \mathbb{N} $$

Problem/Ansatz:

$$(n|ab \Longrightarrow \text{ n|a } \lor \text{ n|b})\Longrightarrow \text{ n ist eine Primzahl }$$

ist soweit klar, hängt mit der Primfaktorzerlegung der Zahlen zusammen
aber wie genau sollte ich jetzt die "Rückrichtung" zeigen um die Äquivalenz zu zeigen? also:

$$\text{ n ist eine Primzahl } \Longrightarrow(n|ab \Longrightarrow \text{ n|a } \lor \text{ n|b})$$
oder ist die Aufgabe einfach schlecht formuliert? Das gilt doch gar nicht für alle a,b aus der natürlichen Zahlen?

Answer 1

n ist Primzahl und  n|ab

⟹ In der Primfaktorzerlegung von ab kommt n vor.

⟹ n kommt in der Primfaktorzerlegung von a vor

      oder n kommt in der Primfaktorzerlegung von b vor

⟹ n|a ∨ n|b

Comments

Genau das gilt aber nicht für alle a,b aus den natürlichen zahlen wie in der Aufgabe gefordert?

z.B 3 ist eine Primzahl. Sei a=5 , b=7 und schon gilt das nicht. Müsste es also nicht heißen:

$$\exists a,b \in \mathbb{N} \text{ statt } \forall a,b \in \mathbb{N}$$

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n=3 und a=5 , b=7

Dann gilt doch nicht n | ab denn 3 ist kein Teiler von 35.

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Zeigen Sie, dass eine natürliche Zahl n∈N genau dann eine Primzahl ist

Ich möchte nur darauf hinweisen, dass die bisherigen Antworten und Kommentare der Formulierung "genau dann" nicht die nötige Aufmerksamkeit gezollt haben.

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@abakus genau das meinte ich auch. "genau dann wann" spricht ja für eine Äquivalenz und das ist auch meine Frage: Das Beispiel mit n=3 a=5 und b=7 ist ja ein Gegenbeispiel für "wenn n Primzahl => n teilt a*b ..."

Also kann man die Äquivalenz nicht beweisen oder?

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Mach es mal in Worten:

Diese Richtung heißt doch:

Wenn n eine Primzahl ist gilt Folgendes:

Falls n das Produkt teilt, dann teilt es einen der Faktoren.

Bei deinem Beispiel teilt aber n das Produkt nicht !!!