Beweise: Wenn aus c teilt (a*b) folgt, "c teilt a" oder "c teilt b", dann ist c eine Primzahl.

Question

Aufgabe:

Wenn c| a*b, dann c|a oder c|b. c Element der Primzahlen.

Problem/Ansatz:

Wäre c keine Primzahl, dann würde es nicht gelingen. Mit Primzahlen trifft es aber zu (soweit durch probieren). Aber wie führe ich einen Beweis, sodass es deutlich wird ?

Comments

@nadia: Was genau soll bewiesen werden?

Bitte als Kommentar eine vollständige und verständliche Überschrift formulieren.

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Beweise: Wenn c| a*b, dann c|a oder c|b. c Element der Primzahlen.

Es ist eine einfache wenn dann Aussage, wenn die linke Seite gilt, dann gilt die rechte Seite.

Answer 1

z.B. mit Hilfe der eindeutigen Primfaktorzerlegung.

Wenn c eine Primzahl ist, die a*b teilt, dann steckt im Produkt

a*b der Primfaktor c.

Also muss er in mindestens einem der Faktoren auch stecken,

also c|a oder c|b.

Comments

das wäre bei einer "nicht Primzahl" ja auch der Fall. Wenn c|a, dann steckt in a*b ja auch das Produkt ?

Oder verstehe ich etwas falsch ?

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Nein, eine "nicht Primzahl" kann sich aus z.B. zwei Primfaktoren zusammensetzen,

von denen je einer a und einer b teilt.

Etwa  6 = 2*3 und

6 | 4*9 denn   6 | 36

aber 6 teilt nicht 4 und 6 teilt nicht 9 weil jeweils nur einer der Primfaktoren

in 4 bzw. 9 enthalten ist.

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ok, ich verstehe. Ich habe aber keinen Satz dazu, dass wenn c eine Primzahl ist, auch im dem Produkt von a*b das c stecken muss. Verstehst du was ich meine, ich weiß, dass es so ist, aber eben halt nicht wie ich das richtig beweisen soll, sodass es ersichtlich wird.

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Du gehst doch aus von  c teilt a*b.

Also kommen alle Primfaktoren von c in der

Primfaktorzerlegung von a*b vor.

Angenommen c wäre keine Primzahl, dann gäbe es mindestens zwei

(nicht notwendig verschiedene) Primfaktoren p1  und p2 von c.

Diese sind also beide in der Primfaktorzerlegung von a*b

mit einer gewissen Vielfachheit enthalten , es gibt also

x und y ( beide ≥1 ) so, dass die Primfaktorzerlegung

von a*b das Produkt p1^x * p2^y enthält und die ggf. restlichen

Primfaktoren von a*b weder gleich p1 noch gleich p2 sind.

Sei nun a = p1^x und

 b=p2^y * restliche  Primfaktoren von a*b.

Es soll ja folgen  c|a oder c|b.

Beides ist aber nicht möglich, da weder alle Primfaktoren von

c in a noch in b enthalten sind.

Also ist die obige Annahme: "c ist keine Primzahl." falsch.  q.e.d.

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Du beantwortest hier eine (die wahrscheinlich richtige) Interpretation der Fragestellung, die aber nichts mit der Lu'schen veränderten Überschrift zu tun hat.

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Nur eine Frage noch: Weshalb das x und y ? Also bis dahin kann ich folgen, dann wird es wieder kritisch. Wenn du mir das noch näher erläutern könntest wäre es ideal. Danke dir aber jetzt schon für deine Antwort. Entschuldige wegen dem vielen Nachfragen.

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Nachfragen helfen verstehen.

Das x und das y geben an, wie oft die Primzahl p1 bzw. p2 in der Primfaktorzerlegung

von a*b vorkommen.

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Wenn c| a*b, dann c|a oder c|b. c Element der Primzahlen.

Wie liest du das genau?
Denkst du dir einen Allquantor vor dem vierten c? 
Was ist der Skopus wovon?

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Hab mich an der (korrigierten ?) Überschrift orientiert.

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Originalüberschrift hier:

Dann versuche, das eine Behauptung zu machen, die zum Fragetext passt und eine Aufforderung, diese zu beweisen.

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Hab mich an der (korrigierten ?) Überschrift orientiert.

Sicher ?

Aussage A :  c ist eine Primzahl
Aussage B :  c | a*b
Aussage C :  c|a oder c|b

Version 1:
A ⇒ (B ⇒C)  ( bzw. gleichwertig : (A∧B) ⇒ C )

Version 2 :
(B ⇒ C) ⇒ A

Deine Antwort bezieht sich doch auf Version 1, wohingegen die Lu'sche Überschrift Version 2 ist.

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Gast hj2166, würde ich auch so sehen.

Answer 2

Indirekter Beweis. Angenommen, es gilt: Wenn c| a*b, dann c teilt nicht a und c teilt nicht b.

Aus "c teilt nicht a und c teilt nicht b" folgt, dass c auch nicht a·b teilt. Das ist ein Widerspruch zu c| a*b. Damit ist die Annahme falsch und es gilt "c|a oder c|b" unter der Voraussetzung c| a*b.

Comments

Aus "c teilt nicht a und c teilt nicht b" folgt, dass c auch nicht a·b teilt.

Müsste das in diesem Rahmen nicht auch bewiesen werden ?