Question

Aufgabe: Ist f injektiv, surjektiv oder bijektiv?

1: f: ℝ->ℝ, x ↦ x/2 +1000

2: f: ℝ->ℝ≥_0, x ↦ x⁴  +x²+1

3:f:ℚ>₀ -> ℤ, a/b ↦ 2^a3^b, wobei wir annehmen, dass der Bruch gekürzt ist, es also keine natürliche von eins verschiedene Zahl gibt, die a und b teilt

4: f: ℤ ->ℝ, x ↦ 1/3 + x³

Denke 1 und4  sind surjektiv und 1 bijektiv bin mir aber sehr unsicher. würde mich freuen wenn jemand antworten würde

Comments

Hier meine Vorschläge als Diskussionsgrundlage

1. ist bijektiv

2. weder injektiv noch surjektiv

3. injektiv

4. injektiv

Answer 1

1: f: ℝ->ℝ, x ↦ x/2 +1000

            s/2 + 1000 = t/2 + 1000 ==>  s=t also injektiv
        Sei y ∈ℝ ==>   f( (y-1000)*2 ) = y  also surjektiv

2: f: ℝ->ℝ≥0, x ↦ x^4  +x²+1    f(1) = f(-1) also nicht injektiv
f(x) = 0 hat keine Lösung, also nicht surjektiv

3:f:ℚ>0 -> ℤ, a/b ↦ 2^a*3^b, wobei wir annehmen, dass der Bruch gekürzt ist, es also keine natürliche von eins verschiedene Zahl gibt, die a und b teilt.

       2^s*3^t = 2^r*3^u

        2^(s-r) = 3^(t-u)  ==>  s=r und t=u also injektiv

 z.B. 7 kommt nicht als Bild vor, also nicht surjektiv

4: f: ℤ ->ℝ, x ↦ 1/3 + x³

1/3+s^3 = 1/3 + t^3     ==>   s = t , also injektiv

      z.B. 0 kommt nicht als Bild vor ; denn die 3.Wurzel aus 1/3 ist keine ganze Zahl.