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Aufgabe:

Zeigen Sie die Richtigkeit der folgenden Aussage durch vollständige Induktion:

k=12n1k1+n2 \sum \limits_{k=1}^{2^{n}} \frac{1}{k} \geq 1+\frac{n}{2}

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Der Induktionsanfang bei n=0n=0 ist klar:k=12n1k=k=1201k=k=111k=11+02=1+n2\sum\limits_{k=1}^{2^n}\frac1k=\sum\limits_{k=1}^{2^0}\frac1k=\sum\limits_{k=1}^{1}\frac1k=1\ge1+\frac02=1+\frac n2\quad\checkmark

Im Induktionsschritt nn+1n\to n+1 können wir nun die Gültigkeit der Gleichung bis zu nn voraussetzen. Dazu spalten wir die Summe in 2 Teilsummen auf.k=12n+11k=k=12n1k+k=2n+12n+11k\sum\limits_{k=1}^{2^{n+1}}\frac1k=\sum\limits_{k=1}^{2^n}\frac1k+\sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac1kDie erste Summe können wir durch die Induktionsvoraussetzung abschätzen. Bei der zweiten Summe nutzen wir aus, dass ein Bruch kleiner wird, wenn wir seinen Nenner vergrößern. Dazu setzen wir für alle Summanden das maximale kk ein, also k=2n+1k=2^{n+1}:k=2n+12n+11kk=2n+12n+112n+1=12n+1k=2n+12n+1 ⁣ ⁣1=12n+1(2n+12n)=12n+12n(21)=12\sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac1k\ge\sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac1{2^{n+1}}=\frac1{2^{n+1}}\sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\!\!1=\frac1{2^{n+1}}\cdot\left(2^{n+1}-2^n\right)=\frac1{2^{n+1}}\cdot2^n\cdot\left(2-1\right)=\frac12

Insgesamt lautet also unsere Abschätzung:k=12n+11k=k=12n1k+k=2n+12n+11k(1+n2)+12=1+n+12\sum\limits_{k=1}^{2^{n+1}}\frac1k=\sum\limits_{k=1}^{2^n}\frac1k+\sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac1k\ge\left(1+\frac n2\right)+\frac12=1+\frac{n+1}2\quad\checkmark

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