Vollständige Induktion: Ungleichung x^n -nx + n-1 ≥ 0 für n≥1 zeigen

Question

Aufgabe: Zeigen Sie: Für alle reellen Zahlen x ≥ 0 und alle natürlichen Zahlen n ≥ 1 gilt, dass
x^n -nx + n-1 ≥ 0

Problem/Ansatz:

ich verstehe einfach den Indutionsschritt nicht und finde auch keine änlichen Aufageben im internet.

Ich muss doch sagen dass, x^(n+1)-(n+1)x+(n+1)-1≥0 gilt, dazu habe ich für meine Beweis versucht                 (x^n -nx + n-1)*(n+1) so umzuformen, dass x^(n+1)-(n+1)x+(n+1)-1 rauskommt, aber es funktioniert einfach nicht.

Habe ich einfach den falschen Ansatz ??

Answer 1

Zu zeigen:

x^n - n·x + n - 1 ≥ 0

Induktionsanfang: n = 1

x^1 - 1·x + 1 - 1 ≥ 0
x - x ≥ 0

Induktionsschritt: n → n + 1

x^n - n·x + n - 1 ≥ 0
x^n ≥ n·x - n + 1

x^(n + 1) - (n + 1)·x + (n + 1) - 1 ≥ 0
x·(n·x - n + 1) - n·x - x + n ≥ 0
n·(x^2 - 2·x + 1) ≥ 0
n·(x - 1)^2 ≥ 0

Comments

Wie kommt man von

x^(n + 1) - (n + 1)·x + (n + 1) - 1 ≥ 0

auf
x·(n·x - n + 1) - n·x - x + n ≥ 0 ?

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Es wird ausmultipliziert und zusammengefasst und dann der Term x^n gemäß der Induktionsannahme abgeschätzt.

x^(n + 1) - (n + 1)·x + (n + 1) - 1 ≥ 0
x·x^n - n·x - x + n + 1 - 1 ≥ 0
x·x^n - n·x - x + n ≥ 0
x·(n·x - n + 1) - n·x - x + n ≥ 0

Answer 2

Zeige, dass f: [0,∞]→ℝ mit x ↦ xⁿ - nx + n-1 für jedes n ≥ 1 bei x= 1 einen absoluten Tiefpunkt hat.

Comments

Für n= 1 ist das eine Gerade !!!

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Die Gerade verläuft horizontal !!!