Beweise mit vollständiger Induktion die Ungleichung (1 + x)^{n } ≥ 1 + nx

Question

Aufgabe:

Beweise mit vollständiger Induktion:

Problem/Ansatz:

Wie komme ich denn von (1 + x)ⁿ  * (1 + x) auf 1 + (n + 1) * x + nx²  wenn ich für n und x Werte einsetze, geht die Gleichung nicht auf und es ist nicht das Gleiche...

wie genau wird da vorgegangen, ich weiß, dass (1 + x) ⁿ = 1 + n*x ist und ich es damit ersetzen kann, bei mir komme ich dann aber in der nächsten Zeile auf (1 + nx) * (1 + x) = 1 + x + nx + nx²  was das Gleiche (auch mit einsetzen getestet) wie (1 + x)ⁿ * (1 + x) ist.

Ist die Lösung einfach fehlerhaft oder habe ich einen Fehler gemacht?  

Answer 1

von

(1 + x)^{n  }* (1 + x) auf 1 + (n + 1) * x + nx^{2  }  ?

Gar nicht.

Um auf  1 + (n + 1) * x + nx^{2  }  zu kommen wird die rechte Seite der Ungleichung in der oberen Zeile umgeformt. (= Produkt ausmultipliziert, sortiert und x ausgeklammert ).

ich weiß, dass (1 + x)^n ≥ 1 + n*x ist und ich es damit ersetzen

Das wurde in der Zeile oberhalb schon getan.

Im Ganzen hast du in dieser Rechnung dann eine Ungleichungskette.

Der erste Term der Kette ist zum Schluss dann ≥ der letzte Term der Kette. 

Comments

Hast du dir das Video hier angeschaut? https://www.mathelounge.de/370310/vollstandige-induktion-ungleichung-1-x-n-1-nx-zeigen

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Also hat man dann am Ende praktisch stehen:

(1 + x) ⁿ * (1 + x) ≥ 1 + (n + 1) * x + nx² ≥ 1 + (n + 1) x

oder wie?

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Ja. Und da kannst du die Mitte der Kette herausschneiden.

(1 + x) ^{n }* (1 + x) ≥ 1 + (n + 1) * x + nx^{2 }≥ 1 + (n + 1) x

wird zu

(1 + x) ^{n }* (1 + x) ≥ 1 + (n + 1) x

D.h. der Induktionsbehauptung. Somit ist der Beweis gelungen.

Answer 2

Zunächst wird in

(1 + x)^n·(1 + x)

die Induktionsannahme benutzt

(1 + x)^n·(1 + x) ≥ (1 + n·x)·(1 + x)

Dann wird der entstandene Term ausmultipliziert und zusammengefasst

(1 + n·x)·(1 + x) = n·x^2 + n·x + x + 1 = 1 + (n + 1)·x + n·x^2

Siehst du das jetzt etwas klarer?

Comments

Ja, ich denke danke erstmal :)

dass mit dem ausmultiplizieren schon klar, aber ich hab lange nicht verstanden, wie man am Ende einfach sagen kann : 1 + (n + 1) x + nx² ≥ 1 + (n + 1) x

aber wenn die Terme fast identisch ist und man bei dem einen noch +nx² rechnet, ist ja klar dass er größer sein muss. Mir kam die Aufgabe nur so komisch gelöst vor.