Beweise folgende Ungleichung: (1-x)^n < 1/(1 + nx)

Question

Ich  weiß leider nicht mehr weiter .......

Beweise folgende Ungleichung: (1-x)ⁿ < 1/(1 + nx)

Wobei 0 < x < 1 und n ∈ ℕ₊ 

Meine Schritte:

Induktionsbasis:

n=1 

1- x < 1/(1+x)

(1-x)(1+x) < 1

1-x² < 1      STIMMT

Induktionsbehauptung:

∃n∈ℕ₊ , n > 0 : 1- x < 1/(1+x)

Induktionsschritt: n → n+1

(1-x)ⁿ⁺¹ < 1/(1+x(n+1))

(1-x)ⁿ (1-x) < 1/(1 + nx) * (1-x)

weiter weiß ich leide nicht mehr.

Comments

Beweise folgende Ungleichung: (1-x)^n < 1/(1 + nx)

Wobei 0 < x < 1 und n ∈ ℕ+

Im Fragetext steht nichts von vollständiger Induktion. Ist das denn gefordert?

Answer 1

Induktionsbehauptung:

∃n∈ℕ₊ , n > 0 : (1- x)^n  < 1/(1+n*x)   und 0<x<1

also ist jedenfalls   1+n*x > 0 

Induktionsschritt: n → n+1

zu zeigen ist :   (1-x)ⁿ⁺¹ < 1/(1+x(n+1))

(1-x)^(n+1) = (1-x)ⁿ (1-x) <  1/(1 + nx) * (1-x)

                                     = (1 -x ) / (1 +nx )

Und nun musst du nur zeigen

       (1 -x ) / (1 +nx )   <       1/(1+x(n+1))          

und weil die Nenner beide positiv sind, kannst du damit
multiplizieren

        
   (1 -x ) * (1 +nx + x )   <     1+nx    

1 +nx + x - x - nx^2 - x^2  <     1+nx    

1 +nx  - nx^2 - x^2  <     1+nx    

und wenn man von 1+nx  zwei positive Terme subtrahiert,

wird es in der Tat kleiner.  q.e.d.

   

Comments

wie kann ich sehen bzw. wie komme ich darauf das (1 -x ) / (1 +nx ) kleiner sein muss als 1/(1+x(n+1)) ?

das wäre noch sehr lieb, wenn du mir das beantworten könntest. 

Danke vielmals

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einfach nur die Zeile darüber ausgerechnet:

Kannst ja (1-x) als Bruch denken (1-x) / 1

und dann Zähler mal Zähler und Nenner mal nenner

1/(1 + nx) * (1-x) / 1             = (1 -x ) / (1 +nx )

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ne das meinte ich nicht das ist natürlich schon klar ich meine dass ich (1-x)ⁿ⁺¹ < 1/(1+x(n+1)) habe.

Dann schreibe ich (1-x)ⁿ⁺¹ um zu (1-x)ⁿ(1-x) 

und damit links und rechts dasselbe bleibt muss auch 1/(1+n*x) mit (1-x) erweitert werden.

Und dann kommt da ja = (1 -x ) / (1 +nx ) raus. 

wie komme ich nun auf die Idee, dass (1 -x ) / (1 +nx ) kleiner seiner muss als 1/(1+x(n+1)) und darauf, dass das gezeigt werde  muss?

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Es muss doch letztlich gezeigt werden, dass gilt

(1-x)ⁿ⁺¹ < 1/(1+x(n+1))

Und wenn die linke Seite schon als kleiner als
(1 -x ) / (1 +nx )

erkannt ist, muss ja nun dieser Term ≤1/(1+x(n+1))

sein, damit alles klar ist.

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Okay mit kleinergleich verstehe ich es. Weil es kann nur maximal gleich groß sein.

Wenn ich beweisen muss, dass die linke Seite kleinergleich der rechten ist verstehe ich es. Ist das wahr?

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deine Frage ist ja schon was länger her, aber könntest du vielleicht nochmal erklären, wie man hierauf kommt:

(1-x)^(n+1) < 1/(1+x(n+1))

(1+x)^n = (1-x)^n (1-x) <  1/(1 + nx) * (1-x)

                                    = (1 -x ) / (1 +nx )

Also auf die zweite Zeile von dir meine ich:)

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Die zweite Zeile war vertippt. Hab ich jetzt korrigiert.

Geht wie immer bei Induktion: n+1 statt n.

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Hi,

danke für deine Antwort, ich dachte mir schon dass das nur ein tippfehler ist. Ich wollte aber eigentlich fragen wie du von 1/(1+x(n+1))  auf 1/(1 + nx) * (1-x) kommst?:)

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wie du von 1/(1+x(n+1))  auf 1/(1 + nx) * (1-x) kommst?:

Darum geht es doch nicht. Es beginnt  mit der linken Seite

der behaupteten Ungleichung allerdings mit n+1 statt n

Das wäre dann    (1-x)^(n+1)

Von der Potenz wird der letzte Faktor extra geschrieben,

das gibt dann  = (1-x)^n *(1-x)

Jetzt wird das übliche Verfahren bei vollst. Induktion

benutzt: Du setzt ein  (1- x)^n  < 1/(1+n*x)

Das gibt dann   (1-x)^n *(1-x)   < 1/(1+n*x)  * (1-x)

Alles klar ?

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Hi,

ja, vielen Dank. Ich war so dumm und habe das, was zu zeigen war schon in den Induktionsschritt hineingezogen....

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Hi,

sorry das ich das Thema nochmal aufmache, aber ich habe einen Schritt bei dieser Aufgabe nicht verstanden.

Wie komme ich auf die linke und rechte Seite dieser Ungleichung

(1 -x ) / (1 +nx ) < 1/(1+x(n+1)) ?

Vorher stand da ja

(1-x)ⁿ (1-x) <  1/(1 + nx) * (1-x),

daraus wird dann ja

(1-x)ⁿ (1-x) < (1 -x ) / (1 +nx ).

Wie genau komme ich jetzt auf die Form (1 -x ) / (1 +nx ) < 1/(1+x(n+1))

Ich stehe komplett auf dem Schlauch und komme nicht weiter...