Harmonische Funktionen. Beweise die Ungleichung |sin(nx)| ≤ n |sin(x)| n Element N.

Question

Harmonische Funktionen beweisen:

Zeigen Sie, dass für jedes \( x \in \mathbb{R} \) und jedes \( n \in \mathbb{N} \) die Ungleichung

\( |\sin (n x)| \leq n|\sin (x)| \)

gilt.

Gilt die Ungleichung \( |\sin (a x)| \leq a|\sin (x)| \) für beliebige \( a>0 \) und \( x \in \mathbb{R} \) ?

Ansatz:

Kann man das mit vollständiger Induktion zeigen?

Comments

Induktion kannst du auf jeden Fall nur bei n und sicher nicht bei a anwenden.

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Für die Induktion brauchst Du das Additionstheorem für den sin.

Answer 1

klar Induktion
n=1 ist ok
sei gültig für n
dann gilt

|sin(n+1)x)| = | sin(nx+x)| jetzt addtheorem
= |sin(nx) * cos(x) + cos(nx)*sin(x) |    dreiecksungl.

<= | sin(nx)* cos(x) | + | cos(nx) * sin(x) |  wegen |cos| immer <=1

<= | sin(nx)  | + | sin(x) |

jetzt ind.vor

<= n * | sin(x) | + | sin(x) |  = (n+1)* | sin(x) |

für a nimm mal a=0,5 und x=pi/2  dann ist sin(pi/4) sicherlich größer als 0,5*0