Grenzwert einer Wurzel ermitteln

Question

Aufgabe:

n*\( \sqrt{1+\frac{1}{n}} \) - n*\( \sqrt{1-\frac{1}{n}} \)

n → ∞

Problem/Ansatz:

Ich komme auf das Ergebnis 0 für n → ∞, mein Ansatz war, dass der Bruch 0 wird, also

n*1 - n*1 =0

Das Ergebnis ist aber leider nicht korrekt.

Danke für die Hilfe!

Answer 1

$$n* \sqrt{1+\frac{1}{n}} - n*\sqrt{1-\frac{1}{n}} $$

$$= n* (\sqrt{1+\frac{1}{n}} - \sqrt{1-\frac{1}{n}}) $$

mit der Summe erweitern gibt

$$= n* \frac{(\sqrt{1+\frac{1}{n}} - \sqrt{1-\frac{1}{n}})*(\sqrt{1+\frac{1}{n}} + \sqrt{1-\frac{1}{n}})  }{\sqrt{1+\frac{1}{n}} +\sqrt{1-\frac{1}{n}} }$$

$$= n* \frac{1+\frac{1}{n} - (1-\frac{1}{n})}{\sqrt{1+\frac{1}{n}} +\sqrt{1-\frac{1}{n}} }$$

$$= n* \frac{\frac{2}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}} +\sqrt{1-\frac{1}{n}} }=  \frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{n}} +\sqrt{1-\frac{1}{n}} }$$

Also geht es gegen 2 / (1+1)   = 1.

Comments

Vielen, vielen Dank!