Grenzwert bestimmen mit Wurzel

Question

Ich sitze schon seit Stunden an folgender Aufgabe:

Ich soll den Grenzwert folgender Gleichung bestimmen, bin mir aber nicht sicher wie:

$$\sqrt{n(n+1)}-n$$

Comments

\(\sqrt{n(n+1)}-n\) ist keine Gleichung. Das erkennst du an dem Gleichheitszeichen.

---

Erweitere mit √(n*(n-1)) + n

Answer 1

Aloha :)

Erweitere, um die dritte binomische Formel nutzen zu können:$$\phantom=\sqrt{n(n+1)}-n=\frac{\left(\sqrt{n(n+1)}-n\right)\left(\sqrt{n(n+1)}+n\right)}{\left(\sqrt{n(n+1)}+n\right)}=\frac{n(n+1)-n^2}{\sqrt{n(n+1)}+n}$$$$=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}\stackrel{(\text{mit \(\small n\) kürzen})}{=}\frac{1}{\sqrt{\frac{n^2+n}{n^2}}+1}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac1n}+1}\to\frac{1}{\sqrt1+1}=\frac12$$