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Folgenden Grenzwert berechnen$$ \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { \left( \sqrt [ n ]{ \frac { y }{ x }  } -1 \right)  }{ \left( { \left( \frac { y }{ x }  \right)  }^{ \frac { k+1 }{ n }  }-1 \right)  }  }  $$

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$$ \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { \left( \sqrt [ n ]{ \frac { y }{ x }  } -1 \right)  }{ \left( { \left( \frac { y }{ x }  \right)  }^{ \frac { k+1 }{ n }  }-1 \right)  }  }\\=\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { \left( \sqrt [ n ]{ \frac { y }{ x }  } -1 \right)  }{ \left( { \left( \frac { y }{ x }  \right)  }^{ \frac { k+1 }{ n }  }-1 \right)  }  }\cdot \frac { \left( \sqrt [ n ]{ \frac { y }{ x }  } +1 \right)  }{\left( \sqrt [ n ]{ \frac { y }{ x }  } +1 \right)} \\ = \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { \left( { \frac { y }{ x }  } -1 \right)  }{ \left( { \left( \frac { y }{ x }  \right)  }^{ \frac { k+1 }{ n }  }-1 \right) \left( \sqrt [ n ]{ \frac { y }{ x }  } +1 \right)  }  }\\ =...=y/2x -1/2 $$

Stichwort: 3. bin. Formel

Dabei habe ich ausgenutzt das :

$$ \lim _{ n\rightarrow \infty  }  { \left( { \left( \frac { y }{ x }  \right)  }^{ \frac { k+1 }{ n }  }-1 \right)  } =  { \left( { \lim _{ n\rightarrow \infty  } \left( \frac { y }{ x }  \right)  }^{ \frac { k+1 }{ n }  } -\lim _{ n\rightarrow \infty  } 1 \right)  }=1-1=0, wegen~~ \sqrt [n]{{ \left( \frac { y }{ x }  \right)  }^{ k+1 }  } = 0 $$

Siehe: https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Grenzwert:_Beispiele

$$ \lim _{ n\rightarrow \infty  }  \sqrt [ n ]{ c }=1 $$


hoffe, das sit richtig oder zumindest fast :D war nämlich recht zeitaufwendig

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