$$ \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { \left( \sqrt [ n ]{ \frac { y }{ x } } -1 \right) }{ \left( { \left( \frac { y }{ x } \right) }^{ \frac { k+1 }{ n } }-1 \right) } }\\=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { \left( \sqrt [ n ]{ \frac { y }{ x } } -1 \right) }{ \left( { \left( \frac { y }{ x } \right) }^{ \frac { k+1 }{ n } }-1 \right) } }\cdot \frac { \left( \sqrt [ n ]{ \frac { y }{ x } } +1 \right) }{\left( \sqrt [ n ]{ \frac { y }{ x } } +1 \right)} \\ = \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { \left( { \frac { y }{ x } } -1 \right) }{ \left( { \left( \frac { y }{ x } \right) }^{ \frac { k+1 }{ n } }-1 \right) \left( \sqrt [ n ]{ \frac { y }{ x } } +1 \right) } }\\ =...=y/2x -1/2 $$
Stichwort: 3. bin. Formel
Dabei habe ich ausgenutzt das :
$$ \lim _{ n\rightarrow \infty } { \left( { \left( \frac { y }{ x } \right) }^{ \frac { k+1 }{ n } }-1 \right) } = { \left( { \lim _{ n\rightarrow \infty } \left( \frac { y }{ x } \right) }^{ \frac { k+1 }{ n } } -\lim _{ n\rightarrow \infty } 1 \right) }=1-1=0, wegen~~ \sqrt [n]{{ \left( \frac { y }{ x } \right) }^{ k+1 } } = 0 $$
Siehe: https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Grenzwert:_Beispiele
$$ \lim _{ n\rightarrow \infty } \sqrt [ n ]{ c }=1 $$
hoffe, das sit richtig oder zumindest fast :D war nämlich recht zeitaufwendig
