Vollständige Induktion, Behauptung (1+x)^n ≥ 1+nx, n ∈ℕ und x ∈ℝ, x≥-1

Question

Vollständige Induktion

Induktionsanfang: n=0 (1+x)⁰ ≥ 1+0*x

                                     1       ≥    1

Induktionsvoraussetzung: (1+x)ⁿ ≥ 1+nx, n ∈ℕ und x ∈ℝ, x≥-1

Induktionsschritt: (1+x)ⁿ⁺¹≥1+(n+1)x

(1+x)ⁿ⁺¹=(1+x)ⁿ(1+x)

              ≥ (1+nx)(1+x)

              ≥1+x+nx+nx²

              ≥ 1+(n+1)x+nx²         nx²≥0

             ≥1+(n+1)x

Fragen:

1. Ist nx²≥0 oder nx²>0?

2. Wieso verschwindet dann nx²? (n+1)x ist doch auch größer als 0 oder?

3. Stimmen die ,,≥" untereinader oder ist das falsch?

Answer 1

Hallo Probe,

Fragen:

1. Ist nx² ≥ 0 oder nx² > 0?

nx² ≥ 0 weil n=0 sein kann    

 (Hier ist wohl ℕ einschließlich der 0 gemeint, weil das eigentlich die Behauptung der                    Bernoulliungleichung ist)

      Für den Beweis ist das aber unerheblich.

2. Wieso verschwindet dann nx²? (n+1)·x  ist doch auch größer als 0 oder?

Nein, denn x könnte z.B. -1 sein,

        (vgl. die Behauptung in der Fragestellung: ..., n ∈ℕ und x ∈ℝ, x≥-1)

        Außerdem würde der Wegfall von (n+1)·x  auch nichts nützen :-)

3. Stimmen die ,,≥" untereinander oder ist das falsch?

Sie stimmen, denn das Vorhergehende ist immer  ≥  dem Folgenden

Hier  

(1+x)ⁿ⁺¹ = (1+x)ⁿ · (1+x)  

                            ≥_IV  (1+n·x ) · (1+x) 

                                 [ mit dieser Zwischenzeile wäre es besser nachvollziehbar ]

          ≥  1 + x + nx + nx²

           ≥  1+ (n+1)·x+nx²         nx²≥0 

          ≥  1+ (n+1)·x

könnte vorn auch  = stehen, aber  ≥ ist damit eben auch richtig. Insgesamt  ist die Ungleichungskette dadurch leichter lesbar.

Gruß Wolfgang

Answer 2

. Ist nx²≥0 oder nx²>0?

wenn n=0 , dann ist nx^2=0 daher >=

Wieso verschwindet dann nx²? 

Weil nx^2>=0 ist wird der Term kleiner wenn man das weglässt, man schätz ab.

(n+1)x ist doch auch größer als 0 oder?

Ja, aber man will die Ungleichung beweisen, deshalb wäre das ungeschickt das wegzunehmen ;)

Stimmen die ,,≥" untereinader oder ist das falsch? 

Ja, die stimmen

Von der 3ten zur 4ten Zeile kann man auch ein = setzen

Comments

>  (n+1)x ist doch auch größer als 0 oder? 

>  Ja, aber .....  

Nein!   (vgl. meine ergänzte Antwort)

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Achja x kann ja auch negativ sein ;)