Vollständige Induktion: Zeige: Für n≥5 gilt die Ungleichung n^2 < 2^n

Question

Für alle natürlichen Zahlen n≥5 gilt

n^2 < 2^n

Beweisen sie diese Behauptung mit der vollständigen Induktion.

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Bis jetzt habe ich :

ISV : n*2 < 2*n

ISF : (n+1)*2  < 2* n+1

Und dann,

(n+1)*2 = n*2 + 2n+1 > ...?

Wie geht das nun weiter? Könnte mir eventuell jemand dabei?

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Tipp: https://www.mathelounge.de/618706/vollstandige-induktion-zeige-die-ungleichung-2-fur-alle-5

Answer 1

Für den Induktionsanfang setze n=5 und zeige

5^2 = 25 < 32 = 2^5 .

Sei nun n eine nat. Zahl mit n^2 < 2^n

==>  (n+1) ^2 = n^2 + 2n + 1 < 2^n + 2n + 1

und weil 2n+1 für n≥5 immer kleiner als 2^n ist

geht es weiter mit       2^n + 2n + 1  < 2^n + 2^n = 2^(n+1) .   q.e.d.

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Vielen Dank, hab’s jetzt verstanden :)