Vollständige Induktion: Zeige A. 4^(n+1) +5^(2n−1) durch 21 teilbar.

Question

Aufgabe:

Zeigen per vollständiger Induktion:

Die Aufgabe soll heißen:

A.

4^(n+1) +5^(2n−1) durch 21 teilbar.

B.

          n

(1-x) \pi (1+×^(2^k)) = 1 - x^(2^(n+1))

        k=0

Und dann die Hinweise beachten:

\( \forall \) alle \( \in \mathbb{N} \land \forall x \in \mathbb{R} \)
\( (1-x) \prod \limits_{k=0}^{n}\left(1-x^{2^k}\right)=1-x^{2^{n+1}} \)
Hinweis: \( a^{b^{c}} = a^{(b^{c})} \)

\( \forall \; n \in \mathbb{N} \) ist \( 4^{n+1}+5^{2 n+1} \) durch 21 teilbar.
Hinweis \( 25=4+21) \)

Comments

Aufg. 2 falsch abgeschrieben!

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(Leider war es mir nicht möglich es einzugeben. Bitte um Entschuldigung.)

Das hat ein Kollege von dir wohl vor ein paar Tagen schon getan. Zumindest Nr. 1 kommt mir nicht unbekannt vor.

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Zu A. könntest du die Antwortflut hier schon mal studieren:

https://www.mathelounge.de/645929/beweisen-widerlegen-vollstandiger-induktion-durch-teilbar

Dann auch angeben welche Methoden in den Antworten dir bekannt vorkommen.

Z.B. Potenzgesetze oder weitere Rechenregeln.

Du musst die Teilbarkeit durch 3 und durch 7 zeigen, falls du nicht direkt 21 nehmen willst.

B. allenfalls hier https://www.mathelounge.de/672648/vollstandige-induktion-1-x-1-x-2k-1-x-2-n-1

Answer 1

Beh.:   Für alle n∈ℕ gilt   21  teilt  4^(n+1) + 5^(2n+1)

n=1                4^2 + 5^3 = 16 + 125 = 141  ist aber nicht durch 21 teilbar.

Da kann was nicht stimmen.

$$(1-x)*\prod \limits_{k=0}^{n}(1-x^{(2^k)})=1-x^{(2^{n+1})}$$

n=1:    (1-x) * (1-x^1)*(1-x^2) = 1-x^4   Das stimmt !

z.zg.: Wenn es für ein n (Ind.vor.) gilt, dann auch für n+1.

Also los:

$$(1-x)*\prod \limits_{k=0}^{n+1}(1-x^{(2^k)})$$ $$=(1-x)*(1-x^{(2^{n+1})})*\prod \limits_{k=0}^{n}(1-x^{(2^k)})$$ $$=(1-x^{(2^{n+1})})* (1-x)*\prod \limits_{k=0}^{n}(1-x^{(2^k)}) $$

Ind.vor einsetzen gibt

$$=(1-x^{(2^{n+1})})*(1-x^{(2^{n+1})} )$$ 3. binomi. Formel $$=(1-x^{(2^{n+1})^2)}$$   Potenzgesetz! $$=(1-x^{(2^{n+1})*2})$$ $$=(1-x^{(2^{n+2})})$$

q.e.d.

Comments

Erstmal vielen Dank für die Hilfe!

Ja, ich habe mich wohl bei beiden Aufgaben da wohl vertan. (Mein Kopf hatte wohl zur später Stunde nicht mehr funktioniert.)

Die Aufgabe soll heißen

A.

4^n+1 +5^2n−1 durch 21 teilbar.

B.

           n

(1-x) \pi (1+×^(2^k)) = 1 - x^(2^(n+1))

         k=0

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4^{n}+1 +5^{2n}−1 durch 21 teilbar.

Meinst du vielleicht

4^(n+1) +5^(2n−1) durch 21 teilbar.

und stimmen die Exponenten bei b) ?

Zudem: Suche bitte das vermutete Duplikat von b).

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4^(n+1) +5^(2n−1) durch 21 teilbar.

Das passt für n=1   4^2 + 5^1 = 21  ist durch 21 teilbar.

Angenommen es gilt für n, dann gilt

4^((n+1)+1) +5^(2(n+1)−1)

= 4*4^(n+1) + 5^(2n+1)

= 4*4^(n+1) + 25*5^(2n-1)

= 4*4^(n+1) + (21+4)*5^(2n-1)

= 4*4^(n+1) + 21*5^(2n-1) + 4*5^(2n-1)

= 4*4^(n+1)  + 4*5^(2n-1)  + 21*5^(2n-1)

= 4*  (  4^(n+1)  + 5^(2n-1) )  + 21*5^(2n-1)

Der erste Summand ist durch 21 teilbar, weil er den Faktor

  (  4^(n+1)  + 5^(2n-1) ) enthält, der lt. Ind.vor. durch 21 teilbar

ist und der 2. Summand enthält den Faktor 21.

Also ist die Summe durch 21 teilbar.   q.e.d.

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ich klinge mich jetzt auch mal ein.

Wie würde die Aufgabe aussehen, wenn hinter dem Produkt die Differenz

(1 - x^2k) durch die Summe (1 + x^2k) ersetzt wird?

(1- x) ∏ ⁿ_k=0 (1 + x^2k) = 1 - xⁿ⁺¹

 

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Für n=0 stimmt das schon nicht.