Vollständige Induktion / Induktionsannahme beweisen? Teilbar durch 133?

Question

Aufgabe:

Rechenweg unklar/vollständige Induktion.

Problem/Ansatz:

ich soll durch vollständige Induktion zeigen, dass für nichtnegative ganze Zahlen der Ausdruck

11^(n+2)  +  12^(2n+1)

durch 133 teilbar ist.

Ich bin bis zur Induktionsannahme gekommen, dort soll das mit n+1 beweisen.

11^(n+3) +12^(2n+3)

=11*11^(n+2) +    12^(2n+3)

=11*11^(n+2) +  12^2  *  12^(2n+3)

Ab hier kann ich den Rechenweg nicht mehr nachvollziehen. Ich weiß nur, das hier minus f(n) gerechnet wurde:

=11*11^(n+2) +  12^2  *  12^(2n+3)  -   11*12^(2n+1)  +  144*12^(2n+1)

=11*11^(n+2) +   12^(2n+1)  + 133* 12^(2n+1)

Answer 1

Wenn irgendeine Zahl a durch 133 teilbar ist und eine weitere Zahl b>a auch durch 133 teilbar sein soll, so muss dass was von a bis b fehlt (also die Differenz b-a) auch durch 133 teilbar sein.

Deshalb wird die Differenz zwischen dem größeren Wert

11^((n+1)+2)  +  12^(2(n+1)+1)

und dem kleineren (und als durch 133 teilbar angenommenen)  Wert

11^(n+2)  +  12^(2n+1)

gebildet und gezeigt, dass diese Differnz durch 133 teilbar ist.

Comments

Okay, danke. Ich verstehe leider nicht, wie die Umformung zustande kommt. Wie komme ich durch umformen von hier

=11*11^(n+2) +  122  *  12^2 * 12^(2n+3)  - 11*^(n+2)  +  12^(2n+1)

nach da:

=11*11^(n+2) +  122  *  12^(2n+3)  - 11*12^(2n+1)  +  144*12^(2n+1)

=11*11^(n+2) +  12^(2n+1)  + 133* 12^(2n+1)