durch 7 teilbar durch Induktion

Question

Aufgabe:

Bestimme die Zahlen 5⁶ mod7=1, 5⁶div7=2232, 2³ mod7=1 und 2³ div7=1 und zeige induktiv, dass

5¹⁺⁶ⁿ +2¹⁺³ⁿ durch 7 teilbar ist für jede natürliche Zahl n

Problem/Ansatz:

IA

n=1

5¹⁺⁶ +2¹⁺³ =78141 #

78141/7= 11163

IS

5^1+6(n+1)  +2^1+3(n+1)

= 5⁷⁺⁶ⁿ +2⁴⁺³ⁿ

=(5¹⁺⁶ⁿ *5⁶)+(2¹⁺³ⁿ +2³)

Hier komme ich leider nicht weiter.

Das ganze muss wohl anscheinend über Division mit Rest gelöst werden da diese ja davor zu berechnen war.

Answer 1

Ich beginne mal bei deiner leicht verkehrten letzten Zeile

5^(1 + 6·n)·5^6 + 2^(1 + 3·n)·2^3 mod 7 = 0

5^(1 + 6·n)·(5^6 mod 7) + 2^(1 + 3·n)·(2^3 mod 7) mod 7 = 0

5^(1 + 6·n)·1 + 2^(1 + 3·n)·1 mod 7 = 0

5^(1 + 6·n) + 2^(1 + 3·n) mod 7 = 0

Comments

Stimmt es muss logischerweise 2^(1+3n)*2^3 heißen.

Vielen Dank!