Induktionsanfang musst du mit n=1 machen, da steht doch n>0.
Und für n=1 gibt es auch 47, bei n=0 gäbe es 0.
und : 47 ist durch 47 teilbar.
Nicht 47 : …. sondern …. : 47. Also eher so:
7(2n+1) -2n+1 (für n (n+1) einsetzen
= 7^2 * 7^(2n) - 2*2^n
= 49*7^(2n) - 2*2^n
= 47*7^(2n) +7^(2n) +7^(2n) - 2^n - 2^n
= 47*7^(2n)+ [7^(2n) - 2^n] +[7^(2n) - 2^n]
Der erste Summand ist durch 47 teilbar, weil er den Faktor 47 enthält und die
beiden eckigen Klammern nach Induktionsvoraussetzung.
Also ist auch die Summe der 3 Teile durch 47 teilbar. q.e.d.