Terme mit Exponenten umschreiben (zusammenfassen): Zeigen: 11^{n+1}+12^{2n-1} ist durch 133 teilbar.

Question

Hi Leute!

Und zwar ist meine Aufgabe wie folgt:

Aufgabe:

Ich muss folgendes durch vollstädge Induktion beweisen:

$$ 11^{n+1}+12^{2n-1} $$ ist durch 133 teilbar.

Ich bin bis zum vorletzten Schritt gekommen & auch alles verstanden. Nur der letzte Schritt will nicht in meinem Kopf...

Problem/Ansatz:

Beim Induktionsbeweis steht in der vorletzten Zeile folgendes:

$$ 11^{n+1}*11+12^{2n-1}*{133+11} $$ bis hier hin alles OK aber dann die nächste und letzte Zeile

$$ (11^{n+1}+12^{2n-1})*11+12^{2n-1}*133 $$ und damit ist der Beweis auch fertig. Leider weiß ich nicht genau wie man vom vorletzten bis zum letzten Schritt kommt.

Da bräuchte ich Hilfe :)

Answer 1

Aloha :)

Ich kann den Schritt auch nicht nachvollziehen, er ist falsch. Der Induktionsschritt wäre doch wie folgt:

$$11^{(n+1)+1}+12^{2(n+1)-1}$$$$=11^{(n+1)+1}+12^{(2n-1)+2}$$$$=11\cdot11^{n+1}+144\cdot12^{2n-1}$$$$=11\cdot11^{n+1}+(133+11)\cdot12^{2n-1}$$$$=11\cdot11^{n+1}+11\cdot12^{2n-1}+133\cdot12^{2n-1}$$$$=11\cdot(11^{n+1}+12^{2n-1})+133\cdot12^{2n-1}$$Die Klammer ist nach Induktionsvoraussetzung durch 133 teilbar und der zweite Summand enthält die 133 als Faktor, also ist die Summe durch 133 teilbar.

Comments

Ahhhh, jetzt macht es Klick! War ja gar nicht so schwer wie ich dachte :D

Vielen lieben Dank für die Antwort.

& eine gute Nacht:)