Beweisen, dass n (n+1) (n - 1) durch 6 teilbar ist mit vollständiger Induktion:

Question

Beweisen Sie durch vollständige Induktion: n (n+1) (n - 1) ist für alle n e N{1}
durch 6 ohne Rest teilbar.

Lösung:
Induktionsanfang n= 2:
2*3*1=6. 6 ist offensichtlich durch 6 teilbar.

Induktionsschluss: n -> n+1:

Induktionsvoraussetzung: n (n + 1) (n -1) ist durch 6 ohne Rest teilbar.

Induktionsbehauptung: (n+1) (n + 2) (n +1 -1) ist durch 6 ohne Rest teilbar.

Beweis: Es gilt: (n+1) (n + 2) (n +1 - 1) =(n+1) (n+2) n =n (n+1) (n-1+3)=n (n+1) (n-1) +n (n+1) 3

Hinweis: Ich konnte alles selbständig lösen bis zu Beweis (...) =(n+1) (n+2) n. Ich weiß aber nicht wie man von =(n+1) (n+2) n auf n (n+1) (n-1+3) kommen soll und das dahinter auch nicht. Könnte mir das jemand bitte erklären?

Answer 1

Das ist ja der Term, der durch 6 teilbar sein soll

T = (n+1) (n+2) n

In der Ind.vor. hast du  n (n + 1) (n -1)  ist durch 6 teilbar.

also wird versucht  das darauf zurückzuführen.

Die Faktoren n und (n+1) kommen in beiden vor und wenn man die

Reihenfolge etwa ändert hat man

T = n*(n+1)*(n+2) und die letzte Klammer hier unterscheidet sich
von der in der Ind.vor.  um 3 , also wird das umgeschrieben zu

   n*(n+1)*(n-1 +3) denn wenn man jetzt die letzte Klammer auflöst

hat man ( die ersten beiden bleiben wie sie sind)

n*(n+1)*(n-1)   +    n*(n+1)*3

Der erste Summand ist der aus der Ind. vor. , also jedenfalls durch

6 teilbar. Der zweite enthält den Faktor 3, ist also durch 3 teilbar aber

er ist auch durch 2 teilbar; denn von n und n+1 ist ja jedenfalls einer

eine gerade Zahl. Also ist der zweite Summand durch 3 und durch 2 teilbar,

somit auch durch 6.

Und wenn beide Summanden durch 6 teilbar sind, ist es die Summe auch.  q.e.d.

Comments

Vielen Dank!!

Answer 2

Hallo

 dass n+2=n-1+3 ist sollte schnell klar sein? also n*(n+1)*(n+2)=n*(n+1)*(n-1) +3*n*(n+1) der erste Teil ist durch 6 tb, der zweite Teil auch, weil einer von 2 aufeinanderfolgenden Zahlen immer gerade ist, also ist 3*n*(n+1) durch 2 und 3 also durch 6 tb.

übrigens; das mit Induktion zu zeigen ist eigentlich sehr überflüssig, denn 3 aufeinanderfolgende Zahlen sind immer durch 3 tb 2 aufeinanderfolgende immer gerade, deshalb ist das Produkt von 3 aufeinanderfolgenden Zahlen immer durch 2 und 3 also 6 tb.

Gruß lul