Aloha :)
Vielleicht hilft es, den Ausdruck etwas umzuschreiben:$$a(n)=n^3+2n=n^3\,\overbrace{-n+n}^{=0}+2n=n^3-n+3n=n(n^2-1)+3n$$$$\phantom{a_n}=n(n-1)(n+1)+3n$$Jetzt sieht man bereits ohne Induktion, dass \(a(n)\) durch \(3\) teilbar ist, denn der zweite Summand \(3n\) ist sicher durch \(3\) teilbar und der erste Summand besteht aus 3 direkt aufeinander folgenden natürlichen Zahlen als Faktoren \((n-1)\cdot n\cdot(n+1)\), von denen einer ein Vielfaches von \(3\) ist. (Für \(n=1\) wird der erste Summand \(=0\) und ist somit auch durch \(3\) teilbar.)
Mit Induktion würde ich wie folgt vorgehen...
Verankerung bei \(n=1\):$$a(1)=1^3+2\cdot1=3\quad\checkmark\quad\text{durch \(3\) teilbar!}$$
Induktionsschritt \(n\to n+1\):
$$a(n+1)=(n+1)^3+2(n+1)=(n^3+3n^2+3n+1)+(2n+2)$$$$\phantom{a(n+1)}=(n^3+2n)+3n^2+3n+3=(n^3+2n)+3(n^2+n+1)\quad\checkmark$$Der Summand \(n^3+2n\) ist nach Induktionsvoraussetzung durch \(3\) teilbar und der Summand \(3(n^2+n+1)\) enthält den Faktor \(3\), ist also auch durch \(3\) teilbar.
