Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass 7 die Zahl 2^(2n+1)+3^(2n-1) teilt für alle n ≥ 1.

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass 7 die Zahl 2^(n+1) + 3^(2n−1) teilt für alle n ≥ 1.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe die aufgabe nicht wirklich. Die vollstädnige Induktion ist mir bereit bekannt, jedoch fällt es mir sehr schwer diese anzuwenden, vor allem bei solchen Zahlen Konstruktionen.

Comments

Naja, den Induktionsanfang solltest du doch ninbekommen, oder?

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Duplikat von https://www.mathelounge.de/387891/beweisen-vollstandiger-induktion-dass-zahl-2n1-teilt-alle ?

Answer 1

Hallo,

willkommen in der Mathelounge!

Diese Frage wurde zwar schon mal gestellt und auch beantwortet, aber IMHO irgendwie unzureichend. Es soll gezeigt werden, dass$$7\mid 2^{n+1} + 3^{2n−1} \quad ?$$Für \(n=1\) kann man leicht zeigen, dass das zutrifft:$$7\mid 2^{1+1} + 3^{2\cdot 1−1} = 7 \space \checkmark$$Im folgenden zeige ich, dass dies auch für \(n+1\) gilt, indem ich in den Term \(n\) durch \(n+1\) ersetze und anschließend annehme, dass \(7\mid 2^{n+1} + 3^{2n−1}\) bereits gilt:$$\begin{aligned} 2^{(n+1)+1} + 3^{2(n+1)−1} &= 2^{n+2} + 3^{2n+1} \\ &= 2\cdot 2^{n+1} + 3^2\cdot 3^{2n−1} \\ &= 2\cdot 2^{n+1} + 2\cdot 3^{2n−1} + 7\cdot 3^{2n−1}\\ &= 2 \underbrace{\left(2^{n+1} + 3^{2n−1}\right)}_{=7k, \space k \in \mathbb N}+ 7 \cdot 3^{2n−1} &&|\, \text{lt. Vorauss.}\\ &= 7\left( 2k + 3^{2n−1} \right) \end{aligned}$$D.h der Term lässt sich in ein Produkt mit Faktor \(7\) umformen und ist daher durch \(7\) teilbar.

Wenn etwas unklar ist, so frage nochmal nach.

Comments

erstmal vielen dank! Könntest du erläutern, wie du auf die 2 mal 2^(n+1) und auf die 3^2 mal 3^(2n-1) gekommen bist? Also die 2 mal und die 3^2 mal sind für mich ein großes Fragezeichen :(

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... wie du auf die 2 mal 2^(n+1) ... gekommen bist?

also das \(2^{n+2} = 2 \cdot 2^{n+1}\) ist, das sollte klar sein - oder? Wie bin ich darauf gekommen, es so umzustellen?

Wenn man von \(2^{n+2} + 3^{2n+1}\) kommt, dann will man irgendwie zu einem Ausdruck wie$$2^{n+1} + 3^{2n-1}$$denn dieser ist ja laut Vorausetzung durch \(7\) teilbar. Und das erste, was man dazu benötigt, sind doch die Summanden selbst - also im ersten Schritt$$2^{n+2} + 3^{2n+1} = 2\cdot 2^{n+1} + 9 \cdot 3^{2n-1}$$

Also die 2 mal und die 3² mal sind für mich ein großes Fragezeichen

Anscheinend mangelt es doch an den Basics .... Ok; es ist doch$$\underbrace{2\cdot 2\cdot 2\cdot \dots \cdot 2}_{n\space\text{mal}} = 2^n$$nehme ich das mit einer weiteren \(2\) mal, wird daraus$$\begin{aligned} 2 \cdot \underbrace{2\cdot 2\cdot 2\cdot \dots \cdot 2}_{n\space\text{mal}} = 2 \cdot 2^n \\ \underbrace{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \dots \cdot 2}_{n+1\space\text{mal}} = 2^{n+1}\end{aligned}$$Das sind die Potenzgesetze. Genauso ist auch$$3^{2n+1} = 3^{(2n-1)+2} = 3^{2n-1} \cdot 3^2$$