Zeige: f ist komplex differenzierbar in z0 => f'(z0) = 0.

Question

Sei Ω: = B (0,1) ⊆ℂ die offene Einheitskreisscheibe und f: Ω-> ℂ mit f (Ω) ⊆ℝ.

Zeige: f ist komplex differenzierbar in z0 => f'(z0) = 0.

und wenn f holomorph in Ω ist=> f ist konstant

Meine Idee: Ich weiß was komplex differenzierbar heißt, also f'(zo)=lim(z->zo)= \( \frac{f(z)-f(zo)}{z-z0} \) existiert. Außerdem weiß ich dass, wenn ich die Polarkoordinaten nutze, r<1 sein muss wegen der offenen Einheitskreisscheibe. Aber ich verstehe die Funktion f nicht. Kann mir bitte jemand weiterhelfen?

Answer 1

Mit \( f = u + iv \) und \( f' = 0 \) folgt wegen der Cauchy-Riemannschen Dgl und wegen \( f' = u_x + i v_x = 0 \) das auch \( u_y = v_y = 0 \) gilt. Damit gilt $$ \nabla u = \nabla v = 0 $$ Somit ist \( f \) eine konstnate Funktion.

Comments

warum gilt f'=u_x+iv_x=0? und warum dann u_y=v_y=0? ach das sieht man wenn man die jacobi matrix aufschreibt oder?

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Mit \( z = x + iy \), \( f(z) = u(x,y) + i v(x,y) \) und \( h \in \mathbb{R} \) folgt

$$ f'(z) = \lim_{ h \to 0 } \frac{ f(z+h) - f(z) } { h }  = \lim_{ h \to 0 } \frac{ u(x+h,y) - u(x,y) } { h } + i \lim_{h \to 0 } \frac{ v(x+h,y) - v(x,y) }{ h } = u_x(x,y) + i v_x(x,y) $$

Die Cauchy-Riemanschen Dgl. lauten

$$ u_x = v_y $$ und $$ u_y = -v_x $$

Aus $$ f'(z) = u_x(x,y) + i v_x(x,y) =0 $$ folgt \( u_x = v_x = 0 \) und damit auch \( v_y = u_y = 0 \)

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Noch als Ergänzung, wenn man anstatt den Grenzübergang mit \( h \to 0 \) mit \( ih \to 0 \) macht, folgt $$ f'(z) = v_y - i u_y $$ Durch vergleich der beiden Formeln für die Ableitung ergeben sich die Cauchy-Riemannschen Dgl.

D.h. man sie nicht voraussetzen sondern kann sie so herleiten.