Damit \(u + \text{i}v\) komplex differenzierbar ist, müssen \(u\) und \(v\) die Cauchy-Riemman-Differentialgleichungen erfüllen:
\([1]: \quad\partial_x u(x+\text{i}y)=\partial_y v(x+\text{i}y)\)
\([2]: \quad\partial_y u(x+\text{i}y)=-\partial_x v(x+\text{i}y)\)
Wegen \(u(x+\text{i}y)=2 x^3 - 6 x y^2 + x^2 - y^2 -y\) erhält man dann aus \([1]\):
\(\partial_y v(x+\text{i}y) = \partial_x u(x+\text{i}y)=6x^2-6y^2+2x\)
Demnach ist dann:
\(\begin{aligned} v(x+\text{i}y)&=v(x+\text{i}0)+\int_{0}^{y}\partial_y v(x+\text{i}t)\,\text{d}t\\&=v(x+\text{i}0)+\int_{0}^{y}(6x^2-6t^2+2x)\,\text{d}t\\&=v(x+\text{i}0)+[6x^2 t-2t^3+2xt]_{t=0}^{t=y}\\&=v(x+\text{i}0)+6x^2 y-2y^3+2x y \end{aligned}\)
Andererseits ist nach \([2]\) und wegen \(u(x+\text{i}y)=2 x^3 - 6 x y^2 + x^2 - y^2 -y\):
\(\begin{aligned}\partial_x v(x+\text{i}0)&=-\partial_y u(x+\text{i}0)=-(-12x y-2y-1)_{y=0}\\&=-(-12\cdot x\cdot 0-2\cdot 0-1)=1\end{aligned}\)
Daher erhält man:
\(\begin{aligned}v(x+\text{i}0) &= v(0+\text{i}0)+\int_{0}^{x}\partial_x v(t+\text{i}0)\,\text{d}t=v(0+\text{i}0)+\int_{0}^{x}1\,\text{d}t\\&=v(0+\text{i}0)+(x-0)=v(0+\text{i}0)+x\end{aligned}\)
Schließlich erhält man also
\(v(x+\text{i}y) = v(x+\text{i}0)+6x^2 y-2y^3+2x y = v(0+\text{i}0)+x+6x^2 y-2y^3+2x y \),
mit einer Konstanten \(v(0+\text{i}0)\in\mathbb{R}\).
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Umgekehrt ist für jede Konstante \(v(0+\text{i}0)\in\mathbb{R}\) und für \(v : \mathbb{C}\to\mathbb{R}\) mit
\(v(x+\text{i}y) = v(0+\text{i}0)+x+6x^2 y-2y^3+2x y\)
die Funktion \(u + \text{i}v : \mathbb{C}\to\mathbb{C}\) komplex differenzierbar, da \(u\) und \(v\) offensichtlich stetig partiell differenzierbar sind und \(v\) gerade so konstruiert wurde, dass \(u\) und \(v\) die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen erfüllen.
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Die Funktion \(u + \text{i}v : \mathbb{C}\to\mathbb{C}\) ist dann übrigens durch
\((u + \text{i}v)(z) = 2 z^3 + z^2 + \text{i} z + \text{i} v(0+\text{i}0)\)
gegeben, wonach hier aber nicht gefragt wurde.
