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Kann mir das bitte jemand erklären? Ich wäre sehr dankbar!


An welchen Stellen sind die durch die folgenden Vorschriften gegebenen
Funktionen im komplexen Sinn differenzierbar?

a) z → |z|,

b) z → |z|2,

c) z → (1 − |z|)2,

d) z → 1/z,

e) z → ex + iey, x = Re z, y = Im z)

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Was meinst du mit " im komplexen Sinn "
differenzierbar ?

f ( x ) =  | x |

gm-24.JPG Die Funktion ist nicht differenzbar. Bei x = 0 ist
die linkseitige Steigung -1; die rechtsseitige Steigung +1.

Ich denke mit "im komplexen Sinn differenzierbar" ist einfach "komplex differenzierbar" gemeint.

https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe_Funktion#Definitionen

Betrachtet werden die entsprechenden Funktionen in den komplexen Zahlen \(\mathbb{C}\), nicht einfach nur in den reellen Zahlen \(\mathbb{R}\).

Bei a) soll demnach also die komplexe Differenzierbarkeit der Funktion \[f : \mathbb{C}\to\mathbb{C}, z\mapsto\lvert z\rvert\] untersucht werden, nicht die Differenzierbarkeit der Funktion \[\tilde{f} : \mathbb{R}\to\mathbb{R}, z\mapsto\lvert z\rvert\text{.}\]

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Ich denke es ist hier an vielen Stellen einfacher mit den Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen zu arbeiten, anstatt mit der Definition über den Differentialquotienten.

Die Teilaufgaben a) und b) kann man dann beispielsweise so lösen ... [Die anderen Teilaufgaben überlasse ich dir dann selbst. Außer du hast noch konkrete Nachfragen.]

a)

Betrachte die Funktion

\(f : \mathbb{C}\to\mathbb{C}, z \mapsto \lvert z\rvert\)

mit

\(f(x+\text{i}y)=\lvert x+\text{i}y\rvert=\sqrt{x^2+y^2}=\underbrace{\sqrt{x^2+y^2}}_{u(x, y)}+\text{i}\cdot\underbrace{0}_{v(x, y)}\) für alle \((x, y)\in\mathbb{R}^2\).


Betrachte die Cauchy-Riemman-Differentialgleichungen an den Stellen \((x_0, y_0)\in\mathbb{R}^2\setminus\lbrace(0, 0)\rbrace\) ...

\(\partial_x u(x_0, y_0) = \partial_y v(x_0, y_0), \quad\partial_y u(x_0, y_0) = -\partial_x v(x_0, y_0)\).

Im konkreten Fall also ...

\(\frac{x_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}=0, \quad\frac{x_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}=0\)

Damit diese erfüllt sind müsste also \(x_0=0\) und \(y_0=0\) sein.

Damit sind an den Stellen \((x_0, y_0)\in\mathbb{R}^2\setminus\lbrace(0, 0)\rbrace\) die Cauchy-Riemman-Differentialgleichungen erfüllt, weshalb \(f\) an den Stellen \(z_0\in\mathbb{C}\setminus\lbrace0\rbrace\) nicht komplex differenzierbar ist.


Betrachte nun die Stelle \(z_0 = 0\). Angenommen \(f\) wäre komplex differenzierbar ab der Stelle \(z_0 = 0\). Dann müsste der Differentialquotient \[f'(0)=\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-f(0)}{z-0}=\lim_{z\to 0}\frac{\lvert z\rvert-\lvert0\rvert}{z-0}=\lim_{z\to 0}\frac{\lvert z\rvert}{z}\] existieren. Dann müssten insbesondere auch die Grenzwerte \[\lim_{z\to 0\\z\in\mathbb{R}_{>0}}\frac{\lvert z\rvert}{z}, \quad\lim_{z\to 0\\z\in\mathbb{R}_{<0}}\frac{\lvert z\rvert}{z}\] existieren und übereinstimmen. Jedoch ist \[\lim_{z\to 0\\z\in\mathbb{R}_{>0}}\frac{\lvert z\rvert}{z} = 1 \ne - 1=\lim_{z\to 0\\z\in\mathbb{R}_{<0}}\frac{\lvert z\rvert}{z}\text{.}\]

Daher ist \(f\) auch an der Stelle \(z_0=0\) nicht differenzierbar.


Ergebnis: \(f\) ist an keine Stelle komplex differenzierbar.

(b)

Betrachte die Funktion

\(f : \mathbb{C}\to\mathbb{C}, z \mapsto \lvert z\rvert\)

mit

\(f(x+\text{i}y)={\lvert x+\text{i}y\rvert}^2=x^2+y^2=\underbrace{x^2+y^2}_{u(x, y)}+\text{i}\cdot\underbrace{0}_{v(x, y)}\) für alle \((x, y)\in\mathbb{R}^2\).

Betrachte die Cauchy-Riemman-Differentialgleichungen an den Stellen \((x_0, y_0)\in\mathbb{R}^2\) ...

\(\partial_x u(x_0, y_0) = \partial_y v(x_0, y_0), \quad\partial_y u(x_0, y_0) = -\partial_x v(x_0, y_0)\).

Im konkreten Fall also ...

\(2x_0=0, \quad 2y_0=0\)

Die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen sind demnach genau dann erfüllt, wenn \((x_0, y_0) = (0, 0)\) ist.

Damit sind an den Stellen \((x_0, y_0)\in\mathbb{R}^2\setminus\lbrace(0, 0)\rbrace\) die Cauchy-Riemman-Differentialgleichungen erfüllt, weshalb \(f\) an den Stellen \(z_0\in\mathbb{C}\setminus\lbrace0\rbrace\) nicht komplex differenzierbar ist.

An der Stelle \((x_0, y_0)=(0, 0)\) sind die Cauchy-Riemman-Differentialgleichungen erfüllt, und außerdem sind \(u\) und \(v\) offensichtlich stetig partiell differenzierbar. Damit ist \(f\) an der Stelle \(z_0 = 0\) komplex differenzierbar.

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