Ich denke es ist hier an vielen Stellen einfacher mit den Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen zu arbeiten, anstatt mit der Definition über den Differentialquotienten.
Die Teilaufgaben a) und b) kann man dann beispielsweise so lösen ... [Die anderen Teilaufgaben überlasse ich dir dann selbst. Außer du hast noch konkrete Nachfragen.]
a)
Betrachte die Funktion
\(f : \mathbb{C}\to\mathbb{C}, z \mapsto \lvert z\rvert\)
mit
\(f(x+\text{i}y)=\lvert x+\text{i}y\rvert=\sqrt{x^2+y^2}=\underbrace{\sqrt{x^2+y^2}}_{u(x, y)}+\text{i}\cdot\underbrace{0}_{v(x, y)}\) für alle \((x, y)\in\mathbb{R}^2\).
Betrachte die Cauchy-Riemman-Differentialgleichungen an den Stellen \((x_0, y_0)\in\mathbb{R}^2\setminus\lbrace(0, 0)\rbrace\) ...
\(\partial_x u(x_0, y_0) = \partial_y v(x_0, y_0), \quad\partial_y u(x_0, y_0) = -\partial_x v(x_0, y_0)\).
Im konkreten Fall also ...
\(\frac{x_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}=0, \quad\frac{x_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}=0\)
Damit diese erfüllt sind müsste also \(x_0=0\) und \(y_0=0\) sein.
Damit sind an den Stellen \((x_0, y_0)\in\mathbb{R}^2\setminus\lbrace(0, 0)\rbrace\) die Cauchy-Riemman-Differentialgleichungen erfüllt, weshalb \(f\) an den Stellen \(z_0\in\mathbb{C}\setminus\lbrace0\rbrace\) nicht komplex differenzierbar ist.
Betrachte nun die Stelle \(z_0 = 0\). Angenommen \(f\) wäre komplex differenzierbar ab der Stelle \(z_0 = 0\). Dann müsste der Differentialquotient \[f'(0)=\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-f(0)}{z-0}=\lim_{z\to 0}\frac{\lvert z\rvert-\lvert0\rvert}{z-0}=\lim_{z\to 0}\frac{\lvert z\rvert}{z}\] existieren. Dann müssten insbesondere auch die Grenzwerte \[\lim_{z\to 0\\z\in\mathbb{R}_{>0}}\frac{\lvert z\rvert}{z}, \quad\lim_{z\to 0\\z\in\mathbb{R}_{<0}}\frac{\lvert z\rvert}{z}\] existieren und übereinstimmen. Jedoch ist \[\lim_{z\to 0\\z\in\mathbb{R}_{>0}}\frac{\lvert z\rvert}{z} = 1 \ne - 1=\lim_{z\to 0\\z\in\mathbb{R}_{<0}}\frac{\lvert z\rvert}{z}\text{.}\]
Daher ist \(f\) auch an der Stelle \(z_0=0\) nicht differenzierbar.
Ergebnis: \(f\) ist an keine Stelle komplex differenzierbar.
(b)
Betrachte die Funktion
\(f : \mathbb{C}\to\mathbb{C}, z \mapsto \lvert z\rvert\)
mit
\(f(x+\text{i}y)={\lvert x+\text{i}y\rvert}^2=x^2+y^2=\underbrace{x^2+y^2}_{u(x, y)}+\text{i}\cdot\underbrace{0}_{v(x, y)}\) für alle \((x, y)\in\mathbb{R}^2\).
Betrachte die Cauchy-Riemman-Differentialgleichungen an den Stellen \((x_0, y_0)\in\mathbb{R}^2\) ...
\(\partial_x u(x_0, y_0) = \partial_y v(x_0, y_0), \quad\partial_y u(x_0, y_0) = -\partial_x v(x_0, y_0)\).
Im konkreten Fall also ...
\(2x_0=0, \quad 2y_0=0\)
Die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen sind demnach genau dann erfüllt, wenn \((x_0, y_0) = (0, 0)\) ist.
Damit sind an den Stellen \((x_0, y_0)\in\mathbb{R}^2\setminus\lbrace(0, 0)\rbrace\) die Cauchy-Riemman-Differentialgleichungen erfüllt, weshalb \(f\) an den Stellen \(z_0\in\mathbb{C}\setminus\lbrace0\rbrace\) nicht komplex differenzierbar ist.
An der Stelle \((x_0, y_0)=(0, 0)\) sind die Cauchy-Riemman-Differentialgleichungen erfüllt, und außerdem sind \(u\) und \(v\) offensichtlich stetig partiell differenzierbar. Damit ist \(f\) an der Stelle \(z_0 = 0\) komplex differenzierbar.
