Zeigen, daß die Funktion g im Punkt a¯ komplex differenzierbar ist

Question

Es sei eine Funktion f : D → C im Punkt a ∈ D komplex differenzierbar.
Ferner sei D* = {z ∈ C | z¯ ∈ D} und g : D* → C werde definiert durch

g(z) = f(z¯)   (und f(z¯) ist auch quer)

Zeigen Sie, dass dann die Funktion g im Punkt a¯ komplex differenzierbar ist mit der

Ableitung

g'(a¯) =( f '(a))¯    ----------------> f '(a) ist quer

Answer 1

Es sei \(f : D\to\mathbb{C}\) im Punkt \(a\in D\) komplex differenzierbar. (Vermutlich ist \(D\subseteq\mathbb{C}\).)
Ferner sei \(D^* = \left\lbrace z\in\mathbb{C} \middle| \overline{z}\in D\right\rbrace\) und \(g : D^* \to \mathbb{C}\) werde definiert durch \(g(z) = \overline{f(\overline{z})}\) für alle \(z\in D^*\).

Zu zeigen: Die Funktion \(g\) ist im Punkt \(\overline{a}\) komplex differenzierbar mit der Ableitung \(g'(\overline{a}) = \overline{f'(a)}\).

Beweis: \(\begin{aligned}g'(\overline{a}) &= \lim_{z\to\overline{a}}\frac{g(z)-g(\overline{a})}{z-\overline{a}}=\lim_{z\to a}\frac{g(\overline{z})-g(\overline{a})}{\overline{z}-\overline{a}}\\&=\lim_{z\to a}\frac{\overline{f\left(\overline{\overline{z}}\right)}-\overline{f\left(\overline{\overline{a}}\right)}}{\overline{z}-\overline{a}}=\lim_{z\to a}\frac{\overline{f\left(z\right)}-\overline{f\left(a\right)}}{\overline{z}-\overline{a}}\\&=\lim_{z\to a}\frac{\quad\overline{f\left(z\right)-f\left(a\right)}\quad}{\overline{z-a}}=\lim_{z\to a}\overline{\left(\frac{f\left(z\right)-f\left(a\right)}{z-a}\right)}\\&=\overline{\lim_{z\to a}\left(\frac{f\left(z\right)-f\left(a\right)}{z-a}\right)}=\overline{f'(a)}\end{aligned}\)