Sind f1(x):= x^2 und f2(x):= xQUER komplex differenzierbar? Wenn ja: Was ist ihre Ableitung?

Question

Aufgabe:

Wir nennen eine Funktion \( f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \) komplex differenzierbar, wenn der Grenzwert

\( \lim \limits_{y \rightarrow x, y \neq x} \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \)

für alle \( x \in \mathbb{C} \) existiert. Bestimmen Sie, ob die Funktionen

\( f_{1}: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, x \mapsto x^{2} \)

und

\( f_{2}: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, x \mapsto \bar{x} \)

komplex differenzierbar sind, und geben Sie gegebenenfalls die Ableitung an.

Answer 1

Ich benutze E statt Epsilon.

a) f1(x) = x^2

Sei y = x+E

(f1(y) -f1(x))/(y-x) = ((x+E)^2 - x^2)/(x+E-x)

= (x^2 + 2xE + E^2-x^2 )/(E) 

 = (2xE + E^2 )/(E) 

= 2x + E

Grenzwert für E--> 0 existiert. Es gilt

f1'(x) = 2x.

b) f2(x) = xQUER

Sei y = x+E

(f2(y) -f2(x))/(y-x) = ((x+E)QUER - xQUER)/(x+E-x)

=  (xQUER+EQUER - xQUER)/(E)

= EQUER/E

Muss noch genauer analysiert werden.

Sei E = a+ib, dann ist EQUER = a-ib

EQUER / E = (a-ib)/(a+ib) = a/(a+ib) - ib/(a+ib)

Fall a=0, b≠0 aber gegen 0

a/(a+ib) - ib/(a+ib)= 0  -1 = -1

Fall b=0, a≠0 aber gegen 0

a/(a+ib) - ib/(a+ib) = 1 - 0  =1

Da die Grenzwerte nicht aus allen Richtungen gleich sind, ist f2(x) = xQUER nicht differenzierbar.

(ohne Gewähr!)