Ableitung an allen Stellen, an denen f komplex differenzierbar ist

Question

Aufgabe:

(ii) Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion

\( f(z)=z\left(2-|z|^{2}\right) \)

an allen Stellen \( z \in \mathbb{C} \), an denen \( f \) komplex differenzierbar ist.

Problem/Ansatz:

wie löst man diese Aufgabe?

Answer 1

\( \left(2-|z|^{2}\right) \) ist reell. Wenn also

\(  z=a+bi  \) ist, dann ist

 \( f(z)=z\left(2-|z|^{2}\right) = a\left(2-|z|^{2}\right) + b\left(2-|z|^{2}\right)i\)

und mit \(    |z|^{2}  = a^2 + b^2  \)   hat man beides.

Answer 2

Wenn z=a+bi, dann ist der

Realteil 2a-a·\( \sqrt{a^2+b^2} \)-2b und der

Imaginärteil b\( \sqrt{a^2+b^2} \).

Comments

Und an welchen Punkten hat der Imaginärteil und der Realteil eine Ableitung. Ich muss ja die Ableitung der Funktion bestimmen an den Stellen wo f komplex differenzierbar ist. Ich muss dann schauen an welchen Punkten der Imaginär-und Realteil eine Ableitung haben und dann schauen ob sie stetig sind. Und dann an diesen Punkten die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen prüfen. Aber an welchen Punkten haben Real und Imaginärteil eine Ableitung? eigentlich bei allen?

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Du musst zunächst entscheiden, ob die Antwort von mathef oder von Roland richtig ist.