Um sich einfache komplexe Funktionen bildhaft vorzustellen, kann man die Kurven \( \operatorname{Re} f(z)= \) const und \( \operatorname{Im} f(z)= \) const in die Ebene zeichnen. Beschriftet man die Kurven entsprechend, so lassen sich damit komplexe Funktionswerte direkt ablesen. In dieser Aufgabe sollen Sie das an zwei Beispielen selbst versuchen. Bestimmen Sie dazu für
(a) \( f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \) mit \( f(z)=z^{2} \),
(b) \( f: \mathbb{C} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{C} \operatorname{mit} f(z)=\frac{1}{z} \)
die Kurvenscharen \( \Re_{\alpha}=\{z \in \mathbb{C}: \operatorname{Re} f(z)=\alpha\} \) und \( \mathfrak{J}_{\beta}=\{z \in \mathbb{C}: \operatorname{Im} f(z)=\beta\} \) für \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \) und
skizzieren Sie diese.
(c) Warum schneiden sich die Kurven \( \Re_{\alpha} \) und \( \mathfrak{I}_{\beta} \) für komplex differenzierbare \( f \) immer im rechten Winkel?
