Fehler im Induktionsbeweis finden

Question

Aufgabe:

Finde den Fehler in dem folgenden Induktionsbeweis:

Behauptung: Für alle a∈ℝ_>0 und alle n∈ℕ₀ gilt aⁿ = 1.

"Beweis":

Ind.anfang: n=0, a⁰= 1

Ind.voraussetzung: Die Behauptung gelte für a>0 und 0≤k≤n

Ind. schritt: 0,...,n↦n+1: Es gilt

aⁿ⁺¹= a^n+n-n+1

= aⁿ⁺ⁿ · a^-(n-1)

= (aⁿ·aⁿ) / (a^n-1)

Nach ind.Voraussetzung gilt a^k= 1 für alle k= 0,...,n

^{= \( \frac{1·1}{1} \)  =1}

Problem/Ansatz:

Mir ist bewusst, dass die Behauptung falsch ist. Jedoch komme ich nicht dahinter, wo genau sich der Fehler befindet. Alle Rechenschritte ergeben für mich Sinn, auch wenn ich mir vorstellen könnte, dass der Fehler beim Einsetzen der ind.Voraussetzung liegt. Wenn mir jemand helfen könnte, sei es auch nur ein Denkanstoß, wäre das super!

Danke schonmal

Answer 1

Gehen wir den Beweis mal durch:

Induktionsanfang (\(n=0\)): \(a^0=1\) für \(a>0\) ist korrekt.

Erster Induktionsschritt (\(n+1=1\)):

\(a^1 = a^{0+0-0+1} = a^{0+0}\cdot a^{-(0-1)} = \frac{a^0\cdot a^0}{a^{-1}}\).

Nun wird behauptet, nach IV gelte \(a^{-1}=1\). Allerdings gilt die Voraussetzung nur ab \(n=0\).

Damit ist die Anwendung der IV hier falsch und damit auch der Rest des Beweises.

Answer 2

Aloha :)

Im Induktionsschritt wurde hergeletiet:$$a^{n+1}=\frac{a^n\cdot a^n}{a^{n-1}}$$Die Verankerung hat aber nur für \(n=0\) stattgefunden. Schon für den Fall \(n=1\) greifst du aber auf die Fälle \(n=0\) und \(n=-1\) zurück:$$a^1=\frac{a^0\cdot a^0}{a^{-1}}$$Es wurde aber nie gezeigt, dass \(a^{-1}=1\) ist, was ja auch falsch ist.