Fehler im Induktionsbeweis finden..

Question

Die Aufgabe ist folgende:

Behauptung A(n) für n ≥ 1: Beliebige n natürliche Zahlen sind gleich.

Induktionsanfang n = 1: A(1) ist offenbar richtig.

Induktionsschritt n → n+1 (n ≥ 1): Betrachte eine beliebige Menge {a1 , a2 , . . . , an+1 } von n+1
natürlichen Zahlen.

Nach Induktionsvoraussetzung gilt a1 = · · · = an und a2 = · · · = an+1 , also
auch a1 = a2 = · · · = an = an+1 , da a2 ja in beiden Gleichungsketten auftaucht.

 

Wie muss ich da jetzt rangehen? Weil ich bin da neu und habe noch nicht so richtig Ahnung bezüglich diesen Themas.

Answer 1

Das Problem in diesem "Beweis" ist der Fall n=2.

Man müsste also aus A(1) A(2) folgern.

Für n=2 hat man \(\{a_1, a_2\}\). Da funktioniert das Argument im Induktionsschritt nicht mehr. Wenn man das nämlich auf zwei Mengen aufteilt, hat man \(\{a_1\}\) und \(\{a_2\}\). Jetzt gibt es aber keine Zahl mehr, die in beiden Mengen vorhanden ist. Das ist aber notwendig für das Argument im Induktionsschritt.

Das bedeutet: Wenn man die Behauptung noch für n=2 beweisen könnte, wäre die Behauptung damit für alle natürlichen Zahlen bewiesen. Aber so hat man nur den Induktionsschritt, der Induktionsanfang funktioniert nicht. Deswegen ist auch die Behauptung falsch.