Fehler beim Induktionsbeweis

Question

Aufgabe:

In dem folgenden Induktionsbeweis liegt ein Fehler.

Alle natürlichen Zahlen die größer oder gleich 2 sind, sind gerade.

Der Beweis wird anhand der vollständigen Induktion durchgeführt, die als Induktionsvoraussetzung die Vermutung für alle   ñ ≤ n als geltend betrachtet.

IA: Zahl 2 ist gerade

IV: Alle natürliche Zahlen ñ mit 2 ≤ ñ≤ n sind gerade.

IS: Die Zahl n-1 ist gerade (IV), also ist n+1=(n-1)+2 gerade, da gerade+gerade= gerade gilt.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe irgendwie nicht was ñ und was IV zu bedeuten hat. Die ganze Aufgabe ost für mich verwirrend.

Ich würde mich über eure Hilfe freuen :)

Answer 1

Ich verstehe irgendwie nicht was ñ und was IV zu bedeuten hat.

ñ ist einfach nur eine Bezeichnung, könnte z.B. auch heißen

statt für alle ñ ≤ n als geltend betrachtet.

etwa für alle m ≤ n als geltend betrachtet.

IA Induktionsanfang

IV Induktionsvoraussetzung

IS Induktionsschluss

Bei der vollständigen Induktion geht es ja immer so,

dass man von der Gültigkeit für n auf die für n+1 schließt.

Der Fehler liegt darin, dass schon der Schluss von 2 auf 3 nicht gelingt.

Die Induktionsvoraussetzung ist dann ( für n=2)

Alle natürliche Zahlen ñ mit 2 ≤ ñ≤ 2 sind gerade.

Das ist wohl richtig. Nun wird ja hier argumentiert:

Dann ist auch n-1 gerade, weil es so ein ñ ist.

Dem ist aber nicht so, da   ñ i = n-1=1 von der IA

nicht erfasst wird.

Comments

Vielen Dank schon mal für deine Antwort.

Was ich leider noch ganz nicht verstehe ist, wie man auf diese Induktionsvoraussetzung kommt.

Also ich kann kein Zusammenhang zwischen der Aussage „ n größer oder gleich 2 ist gerade“ und der Induktionsvoraussetzung mir erschließen.

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Für alle ñ mit  2 ≤ ñ≤ n gilt ñ ist gerade

Heißt doch in Worten:  Alle natürlichen Zahlen

von 2 bis n sind gerade. Und das ist doch die

Behauptung, wenn man sie nur für die Zahlen bis n

formuliert.

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Ach so, alles klar jetzt. Danke :)